아다마르 곱(또는 하다마르 곱, 영어: Hadamard product, Schur product)은 동일한 차원의 두 행렬 $A=(a_{ij})$와 $B=(b_{ij})$에 대해 각 원소를 대응 위치에서 곱한 새로운 행렬을 의미한다.
수식으로는
$$ (A\circ B){ij}=a{ij},b_{ij}\qquad (1\le i\le m,;1\le j\le n) $$
와 같이 정의된다. 여기서 $\circ$는 아다마르 곱 연산자를 나타낸다.
주요 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 교환법칙 | $A\circ B = B\circ A$ |
| 결합법칙 | $(A\circ B)\circ C = A\circ (B\circ C)$ |
| 분배법칙 | $A\circ (B+C) = A\circ B + A\circ C$ |
| 스칼라와의 호환 | $(\alpha A)\circ B = \alpha (A\circ B) = A\circ (\alpha B)$ |
| 양의 정밀도 보존 | $A$와 $B$가 양의 반정부 행렬이면 $A\circ B$도 양의 반정부 행렬이다. |
| 크론케머 곱과의 관계 | $\operatorname{vec}(A\circ B)=\operatorname{vec}(A)\ \ \operatorname{vec}(B)$ (여기서 $$는 원소별 곱, $\operatorname{vec}$는 행렬을 열벡터로 펼치는 연산) |
| 행렬식 및 트레이스 | $\det(A\circ B)$와 $\operatorname{tr}(A\circ B)$는 개별 행렬식·트레이스와 직접적인 일반식이 존재하지 않으며, 특수 경우(예: 대각 행렬)에서 단순히 곱해진다. |
역사 및 명명
아다마르 곱은 프랑스 수학자 Jacques Hadamard(1865–1963)의 이름에서 유래했으며, 독일 수학자 Issai Schur(1875–1941)가 비슷한 연산을 연구하면서 “Schur product”라는 용어가 함께 사용된다. 행렬·신호 처리·통계·양자 정보 등 다양한 분야에서 원소별 연산이 요구될 때 활용된다.
활용 예
- 신호 처리: 두 신호의 스펙트럼을 원소별로 결합할 때.
- 통계: 공분산 행렬의 원소별 가중치를 적용할 때.
- 머신 러닝: 요소별 가중치를 적용한 attention 메커니즘 등에 사용되는 경우가 있다.
- 양자 정보: 텐서곱 대신 원소별 곱을 이용해 특정 연산을 정의할 때.
참고 문헌
- Horn, R. A.; Johnson, C. R. Matrix Analysis. Cambridge University Press, 2012.
- Zhang, Fuzhen. Matrix Theory: Basic Results and Techniques. Springer, 2011.
- Wikipedia contributors. “Hadamard product.” Wikipedia, The Free Encyclopedia, 최신 수정일.
(위 내용은 일반적으로 인정받는 학술 자료와 교과서에 기반한 설명이다.)
