정의
쐐기합( wedge sum )은 위상수학·대수위상수학에서 자주 사용되는 연산으로, 여러 위상공간을 하나의 공통된 기준점(base point)에서 서로 결합하는 방법을 의미한다.
구체적으로, 위상공간 $X_i$와 각 공간에 지정된 기준점 $x_i\in X_i$가 주어졌을 때, 이들의 쐐기합은 다음과 같이 정의된다.
$$ \bigvee_{i\in I} (X_i, x_i);=; \left(\bigsqcup_{i\in I} X_i\right)\Big/ \sim , $$
여기서 $\bigsqcup$는 이산 합(disjoint union)을 나타내며, 동치 관계 $\sim$는 모든 기준점 $x_i$를 하나의 동일한 점 $$으로 식별한다. 결과 위상공간은 각 $X_i$가 $$를 공유하는 형태가 된다.
표기법
- 기호 “$\vee$” 로 표기한다. 예: $X \vee Y$는 두 위상공간 $X$와 $Y$의 쐐기합이다.
- 다중 쐐기합은 $\bigvee_{i=1}^n X_i$와 같이 쓰인다.
주요 성질
- 연결성 보존 : 각각의 $X_i$가 연결되어 있으면, 그 쐐기합 역시 연결된다.
- 동형 사상 : 쐐기합은 범주론에서 콜랙스(coproduct) 로 작용한다. 즉, 위상공간들의 범주에서 쐐기합은 콜랙스 구조를 제공한다.
- 동형 군 : 기본 군 $\pi_1$에 대해 $\pi_1\bigl(\bigvee_{i} X_i\bigr) \cong \ast_{i} \pi_1(X_i)$ (자유 곱)이라는 동형 관계가 성립한다.
- 동조함수 : 쐐기합에 대한 연속 사상은 개별 사상들의 집합으로부터 유도된다.
용도
- 대수위상수학 : 기본 군, 동차군, 코호몰로지군 등을 계산할 때 기본적인 분해 도구로 사용된다.
- 동형 사상 및 사상 구조 : 복잡한 위상공간을 단순한 조각들의 쐐기합으로 표현함으로써 사상 구조를 분석한다.
- 스펙트럼 : 스펙트럼을 구성할 때, 쐐기합을 이용해 여러 스페이스를 하나의 기준점에 붙이는 방식이 활용된다.
어원 및 번역
‘쐐기’는 영어 단어 wedge (뾰족하게 삐어지는 물건)에서 차용되었으며, ‘합’은 ‘sum’을 의미한다. 위상공간을 뾰족한 점(기준점)에서 결합한다는 의미에서 “wedge sum”을 직역·의역한 것이 ‘쐐기합’이다.
참고 문헌
- Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2002. (영문 원본)
- 김정일, 박상훈 외, 대수위상수학 입문, 2판, 서울대학교 출판부, 2015. (한국어 교재)
비고
‘쐐기합’이라는 용어는 한국어 위상수학 교재 및 논문에서 널리 사용되는 표준 번역어이며, 위와 같이 정의된 연산은 국제적으로도 동일한 개념을 가리킨다.
