쌍곡선함수 적분표는 쌍곡선함수(hyperbolic functions)의 부정적분 결과를 정리한 표이다. 쌍곡선함수는 삼각함수와 유사한 성질을 가지며, 표준 쌍곡선을 매개변수로 나타낼 때 등장하는 함수군으로, 쌍곡사인(sinh), 쌍곡코사인(cosh), 쌍곡탄젠트(tanh), 쌍곡코탄젠트(coth), 쌍곡시컨트(sech), 쌍곡코시컨트(csch) 등이 이에 속한다.
적분표에 수록된 공식들은 일반적으로 상수 a가 0이 아니라는 조건과, 각 적분식에 적분상수 C가 포함된다는 전제를 공통으로 갖는다. 대표적인 기본 공식으로는 다음이 있다.
- ∫ sinh(ax) dx = (1/a) cosh(ax) + C
- ∫ cosh(ax) dx = (1/a) sinh(ax) + C
- ∫ tanh(x) dx = ln(cosh x) + C
- ∫ coth(x) dx = ln|sinh x| + C (x ≠ 0)
- ∫ sech(x) dx = arctan(sinh x) + C
- ∫ csch(x) dx = ln|tanh(x/2)| + C (x ≠ 0)
적분표는 크게 여러 범주로 구성된다. 첫째, 쌍곡사인만을 포함하는 함수의 적분으로, sinh의 거듭제곱, 역수, x와의 곱, 서로 다른 계수를 가진 두 쌍곡사인의 곱 등에 대한 공식이 포함된다. 둘째, 쌍곡코사인만을 포함하는 함수의 적분으로, cosh의 거듭제곱, 역수, x 및 x²와의 곱 등에 대한 공식이 수록된다. 셋째, 쌍곡탄젠트·쌍곡코탄젠트·쌍곡시컨트·쌍곡코시컨트 함수의 적분이 별도로 정리된다. 넷째, 쌍곡사인과 쌍곡코사인을 함께 포함하는 함수의 적분이 있으며, 이 경우 계수 m, n에 따라 점화식 형태로 주어지는 경우가 많다. 마지막으로, 쌍곡선함수와 삼각함수를 함께 포함하는 함수의 적분, 예를 들어 sinh(ax+b)·sin(cx+d) 형태의 적분 공식도 포함된다.
이 적분표는 미적분학, 미분방정식, 공학 및 물리학 분야에서 쌍곡선함수가 등장하는 문제를 해결할 때 참고 자료로 널리 사용된다. 쌍곡선함수는 지수함수로 정의되므로, 이들의 적분은 지수함수의 적분 성질과 밀접하게 연관되어 있다. 또한 쌍곡선함수와 삼각함수 사이에는 오일러 공식을 통한 관계가 성립하며, 이로 인해 두 함수군을 함께 포함하는 적분 공식도 적분표에 수록되어 있다.
이 개념은 수학의 표준적인 적분 공식 모음으로서, 위키백과를 비롯한 여러 수학 참고 자료에 독립된 항목으로 존재하며, 널리 인정된 수학적 개념이다.
