심슨 직선(Simson line)은 기하학에서 삼각형의 외접원 위의 한 점에서 각 변에 내린 수선의 발들이 모두 한 직선 위에 놓이는 현상을 설명하는 개념이다. 이 세 수선의 발을 지나는 직선을 해당 점의 심슨 직선이라고 한다.
정의
삼각형 ABC와 같은 평면 위의 점 P가 주어졌을 때, 점 P에서 변 BC, CA, AB에 각각 내린 수선의 발을 D, E, F라고 하자. 이때 다음 두 조건은 서로 동치이다.
- D, E, F는 한 직선 위의 점이다.
- P는 삼각형 ABC의 외접원 위의 점이다.
만약 P가 삼각형 ABC의 외접원 위의 점이라면, D, E, F를 지나는 직선을 삼각형 ABC에 대한 점 P의 심슨 직선이라고 한다. 반대로 P가 외접원 위의 점이 아니라면, 삼각형 DEF를 삼각형 ABC에 대한 점 P의 수족 삼각형(pedal triangle)이라고 한다.
역사
심슨 직선이라는 명칭은 스코틀랜드의 수학자 로버트 심슨(Robert Simson, 1687~1768)의 이름에서 유래하였다. 다만 이 개념은 실제로는 1799년 윌리엄 월리스(William Wallace, 1768~1843)에 의해 처음 발표된 것으로 알려져 있으며, 심슨의 저작에는 이 정리가 직접 등장하지 않는다. 이 때문에 일부 문헌에서는 이를 월리스-심슨 직선(Wallace-Simson line)이라고도 부른다. 명칭이 심슨에게 귀속된 것은 퐁슬레(Poncelet)의 명명에 따른 것으로 전해진다.
주요 성질
- 삼각형 ABC의 외접원 위의 두 점 P, Q의 심슨 직선 사이의 각의 크기는 외접원의 호 PQ의 중심각 크기의 절반과 같다.
- 외접원 위의 두 대척점(지름의 양 끝점) P, Q의 심슨 직선은 서로 수직이며, 구점원(九點圓, nine-point circle) 위의 점에서 만난다.
- 외접원 위의 점 P의 심슨 직선은 P와 수심(垂心) H 사이의 선분 PH를 이등분하며, 이 이등분점은 심슨 직선과 삼각형 ABC의 구점원의 한 교점이다.
- 주어진 삼각형에 대한 모든 심슨 직선들의 족(族)의 포락선은 델토이드 곡선이며, 이를 슈타이너 하이포사이클로이드(Steiner's hypocycloid)라고 한다.
관련 개념
심슨 직선은 삼각형의 외접원, 수선, 수심, 구점원 등과 밀접하게 연관된 유클리드 기하학의 정리로, 수학 올림피아드 및 경시대회 수준의 기하학 문제에서 자주 다루어지는 주제이다.
