실수는 수학에서 유리수가 아닌 수를 의미한다. 즉, 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 수이다. 실수는 유리수와 무리수로 나뉘며, 실수 전체의 집합은 기호 ℝ (또는 R)로 나타낸다. 실수는 수직선 위의 모든 점에 대응되며, 수직선상의 모든 점은 실수에 대응된다. 실수의 집합은 연속적인 성질을 가지며, 임의의 두 실수 사이에는 항상 다른 실수가 존재한다.
유리수: 정수 a와 0이 아닌 정수 b에 대해 a/b의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 예를 들어, 1/2, -3/4, 0, 5 등은 유리수이다. 유리수는 소수로 표현했을 때, 유한소수 또는 순환소수로 나타난다.
무리수: 유리수가 아닌 실수이다. 무리수는 소수로 표현했을 때, 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 없다. 즉, 소수점 이하의 숫자가 무한히 계속되고, 그 숫자들이 어떤 규칙적인 반복 패턴을 보이지 않는다. 예를 들어, 원주율 π(파이), 자연로그의 밑 e, √2 (2의 제곱근) 등은 무리수이다.
실수는 크기의 비교가 가능하며, 사칙연산(+, -, ×, ÷)이 정의되어 있다. 실수는 해석학, 미적분학 등 수학의 여러 분야에서 기본적인 개념으로 사용된다. 실수의 집합은 완비성(completeness)을 갖는 것으로 알려져 있으며, 이는 모든 코시수열이 수렴한다는 것을 의미한다. 이러한 완비성은 실수의 집합이 연속적이고, 수학적 분석에 적합하도록 만드는 중요한 성질이다.