스코로호드 공간(Skorokhod space)은 확률론과 확률과정론에서 주로 다루어지는 함수 공간으로, 특정 구간에서 정의된 우연속 좌극한(càdlàg, continue à droite, limite à gauche) 함수들의 집합을 의미한다. 일반적으로 $D[0, T]$ 또는 $D[0, \infty)$로 표기한다.
이 공간은 우크라이나의 수학자 아나톨리 스코로호드(Anatoliy Skorokhod)가 정의하였으며, 연속 함수 공간인 $C[0, T]$를 확장하여 불연속적인 점프를 포함하는 확률과정을 해석하기 위해 도입되었다.
주요 특징 및 성질은 다음과 같다.
- 대상 함수: 공간에 속하는 모든 함수는 모든 점에서 오른쪽으로 연속하며(우연속), 모든 점에 대해 왼쪽 극한값이 존재(좌극한)해야 한다. 이를 통해 포아송 과정(Poisson process)이나 레비 과정(Lévy process)과 같이 도약이 발생하는 확률과정을 수학적으로 기술할 수 있다.
- 위상 구조: 스코로호드 공간에는 '스코로호드 위상(Skorokhod topology)'이라 불리는 위상이 부여된다. 이는 단순히 함숫값의 차이를 측정하는 균등 수렴 위상(Uniform convergence topology)과 달리, 시간축의 미세한 왜곡을 허용하여 불연속점이 있는 함수들 사이의 거리를 측정한다.
- 수학적 위상: 적절한 거리 함수(Metric)를 통해 스코로호드 공간을 완비 분리 가능 메트릭 공간(Polish space)으로 만들 수 있다. 이러한 성질은 확률 측정의 수렴성이나 확률과정의 약수렴(Weak convergence)을 논의할 때 중요한 근거가 된다.
- 활용: 주로 마르코프 과정, 대기 행렬 이론, 금융 수학 등 불연속적인 변화가 포함된 동적 시스템을 분석하는 도구로 사용된다.
