스칼라배(英: scalar multiple)는 선형대수학 및 벡터공학에서 사용되는 개념으로, 스칼라(실수 또는 복소수 등)의 값에 벡터를 곱한 결과물을 의미한다. 수학식으로는 주어진 스칼라 $a$와 벡터 $\mathbf{v}$에 대하여 $a\mathbf{v}$ 로 표기하며, 이때 $a\mathbf{v}$ 를 $\mathbf{v}$의 스칼라배라고 한다.
정의
벡터 공간 $V$와 스칼라 체 $F$가 주어졌을 때, 임의의 스칼라 $a \in F$와 벡터 $\mathbf{v} \in V$에 대하여
$$
\text{스칼라배}(a,\mathbf{v}) = a\mathbf{v}
$$
이 된다. 이 연산은 벡터 공간의 기본 연산인 스칼라곱(scalar multiplication)과 동일한 의미를 갖는다.
주요 성질
- 분배 법칙: $a(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = a\mathbf{u} + a\mathbf{v}$
- 동일 스칼라에 대한 결합 법칙: $(ab)\mathbf{v} = a(b\mathbf{v})$
- 항등원: $1\mathbf{v} = \mathbf{v}$ (단, 1은 스칼라 체의 곱 항등원)
사용 예시
- $\mathbf{v} = (2, -3)$인 2차원 벡터에 스칼라 4를 곱하면, 스칼라배는 $4\mathbf{v} = (8, -12)$가 된다.
- 물리학에서 힘 $\mathbf{F}$를 시간 간격 $\Delta t$와 곱하여 얻는 충격량 $ \mathbf{J} = \Delta t \mathbf{F}$ 역시 스칼라배의 한 예이다.
관련 개념
- 벡터: 방향과 크기를 가지는 수학적 객체.
- 스칼라: 크기만을 가지는 수(실수, 복소수 등).
- 스칼라곱: 벡터와 스칼라 사이의 곱셈 연산 자체를 가리키는 용어.
어원
‘스칼라(scalar)’는 라틴어 scalaris(계단을 의미)에서 파생된 영어 용어로, “크기(길이)만을 갖는”이라는 의미를 갖는다. 한국어에서 ‘배’는 ‘곱셈’ 혹은 ‘다배’를 나타내는 접미사로 사용되며, 두 단어가 결합해 ‘스칼라에 의해 곱해진 결과’라는 의미를 형성한다.
참고 문헌
- 선형대수학 교과서 및 대학 수준의 수학 강의자료에서 일반적으로 사용되는 용어.
※ 본 내용은 수학 및 물리학 분야에서 널리 인정받는 정의와 용례에 기반하고 있다.