스칼라곱(Scalar product)은 벡터 공간에서 정의되는 두 벡터 사이의 연산으로, 결과가 실수(또는 복소수)인 양(스칼라)값을 반환한다. 흔히 점곱(dot product), 내적(inner product)이라고도 불리며, 유클리드 공간 ℝⁿ에서 가장 기본적인 내적 형태이다.
정의
유클리드 공간 ℝⁿ에서
두 벡터 a = (a₁, a₂, …, aₙ), b = (b₁, b₂, …, bₙ) 에 대해
$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}= \sum_{i=1}^{n} a_i b_i
$$
여기서 결과값은 실수이며, 이를 스칼라곱이라 부른다.
복소수 벡터 공간 ℂⁿ에서
복소수 성분을 가지는 경우에는 켤레 복소수를 사용한다.
$$
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}= \sum_{i=1}^{n} a_i \overline{b_i}
$$
이 경우에도 결과는 실수가 되도록 정의한다(실제 물리·공학에서는 종종 복소수 값을 허용하기도 함).
기본 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 교환법칙 | $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}= \mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$ |
| 분배법칙 | $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})= \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+ \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$ |
| 동일성 | $\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}= |\mathbf{a}|^{2}$ (벡터의 길이의 제곱) |
| 스칼라와의 결합 | $(\lambda\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}= \lambda(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$ (λ는 실수) |
| 양의 정의 | $\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}\ge 0$이며, $\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=0$은 $\mathbf{a}=0$ 일 때만 성립 |
기하학적 의미
- 코사인 법칙: 두 벡터 사이의 각 $\theta$에 대해
$$ \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}= |\mathbf{a}|;|\mathbf{b}|\cos\theta $$
여기서 $|\mathbf{a}|$는 벡터 a의 유클리드 노름(길이)이다. - 두 벡터가 직교(orthogonal) 하면 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0$이다.
- 스칼라곱은 프로젝션(벡터 a를 b 위에 정사영) 계산에 사용된다:
$$ \operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}= \frac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}};\mathbf{b} $$
응용 분야
- 물리학: 일(work) = 힘·변위, 전기·자기장 계산 등에서 스칼라곱이 사용된다.
- 컴퓨터 그래픽스: 밝기 조절, 면의 법선과 빛 벡터 사이의 각도 계산 등에 활용된다.
- 기계 학습: 선형 회귀, 서포트 벡터 머신 등에서 특징 벡터 간 유사도 측정에 쓰이는 코사인 유사도는 스칼라곱을 정규화한 형태이다.
- 신호 처리: 두 신호의 상관관계(correlation)를 구할 때 스칼라곱을 기반으로 한다.
일반화: 내적 공간
스칼라곱은 유클리드 공간에 국한되지 않고, 내적 공간(inner product space)이라는 보다 일반적인 선형대수 구조에서 정의된다.
- 실제 내적: $\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle$는 위의 스칼라곱과 동일한 성질을 만족한다.
- 복소 내적: $\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle = \sum_i x_i \overline{y_i}$ 형태이며, 복소수 선형대수에서 핵심적인 역할을 한다.
이러한 내적은 힐베르트 공간(Hilbert space)과 같은 무한 차원 공간에서도 정의되어, 양자역학·함수해석학 등 고급 이론의 기초가 된다.
역사적 배경
스칼라곱의 개념은 고대 그리스의 기하학에서 벡터와 길이·각도 관계를 탐구하던 것에서 시작된다. 현대적인 형태는 19세기에 독일 수학자 리하르트 카르테시안과 프리드리히 가우스가 좌표공간을 체계화하면서 도입되었으며, 헨리 푸약카레와 데이비드 힐베르트가 내적 공간 이론을 정립하면서 일반화되었다.
관련 용어·참조
- 벡터(vector)
- 노름(norm)
- 직교(orthogonal)
- 코사인 유사도(cosine similarity)
- 내적(inner product)
- 히드리드(Hilbert) 공간
참고 문헌
- L. Hörmander, Linear Algebra, Springer, 2004.
- S. Axler, Linear Algebra Done Right, 3rd ed., Springer, 2015.
- W. Greub, Linear Algebra, Springer, 1975.