스칼라곱(scalar product)은 선형대수학에서 유클리드 공간의 두 벡터로부터 실수 스칼라를 얻는 연산이다. 점곱(dot product) 또는 내적(inner product)이라고도 불리며, 기호로는 가운뎃점 '⋅'을 사용한다. 스칼라곱은 유클리드 공간의 내적을 이루므로, 단순히 '내적'이라고 부르기도 한다. 물리학적 배경으로는 주어진 힘이 주어진 변위의 물체에 가한 일을 구하는 문제에서 비롯되었다.
정의
차원이 $n$인 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 두 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n$의 스칼라곱 $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \in \mathbb{R}$은 대수적 정의와 기하학적 정의 두 가지로 나타낼 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
대수적 정의에 따르면, 두 벡터의 좌표가 각각 $\mathbf{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n)$와 $\mathbf{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n)$일 때, 스칼라곱은 같은 위치의 성분을 곱한 뒤 모두 합하여 얻는 값이다.
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n $$
예를 들어, 두 3차원 벡터 $(1,3,-2)$와 $(4,2,1)$의 스칼라곱은 $1 \times 4 + 3 \times 2 + (-2) \times 1 = 8$이다.
기하학적 정의에 따르면, 스칼라곱은 두 벡터의 길이(노름)와 두 벡터 사이의 각도를 통해 다음과 같이 정의된다.
$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos \theta $$
여기서 $\theta$는 두 벡터 사이의 각도이며, $0 \leq \theta \leq \pi$의 범위를 가진다. 이 정의는 스칼라곱이 좌표계와 무관함을 보여준다.
성질
임의의 벡터 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n$ 및 스칼라 $k \in \mathbb{R}$에 대하여 다음 성질들이 성립한다.
- 교환 법칙: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$
- 분배 법칙: $(\mathbf{a} + \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{c} + \mathbf{b} \cdot \mathbf{c}$, $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \cdot \mathbf{c}$
- 스칼라 곱셈의 보존: $(k\mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a} \cdot (k\mathbf{b}) = k (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})$
- 자기 자신과의 스칼라곱은 음이 아닌 실수이다: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = |\mathbf{a}|^2 \geq 0$
- $\mathbf{a} \cdot \mathbf{a} = 0$일 필요충분조건은 $\mathbf{a} = \mathbf{0}$이다.
- $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$일 필요충분조건은 두 벡터가 서로 수직(직교)인 것이다.
이러한 성질들에 따라 스칼라곱은 대칭 쌍선형 형식(symmetric bilinear form)이자 양의 정부호 형식(positive definite form)이다.
응용
스칼라곱은 벡터의 사영(projection)을 구하는 데 사용된다. 벡터 $\mathbf{a}$의 벡터 $\mathbf{b}$ 위로의 스칼라 사영은 $\mathbf{a} \cdot \frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$로 계산된다. 물리학에서는 일(work)이 힘과 변위의 스칼라곱으로 정의되며, 자기 선속(magnetic flux) 역시 자기 선속 밀도와 면적 벡터의 스칼라곱으로 표현된다.
일반화
스칼라곱의 개념은 복소수 벡터 공간 $\mathbb{C}^n$으로 확장될 수 있으며, 이 경우 켤레 전치(conjugate transpose)를 사용하여 정의된다. 또한, 스칼라곱은 일반적인 내적(inner product)의 특수한 경우로, 임의의 벡터 공간에서 정의되는 내적의 개념으로 추상화될 수 있다. 함수 공간에서의 내적은 합 대신 적분을 사용하여 정의되며, 행렬 공간에서의 프로베니우스 내적(Frobenius inner product) 역시 스칼라곱의 일반화된 형태로 볼 수 있다.
