정의
스칼라 곡률(scalar curvature, 또는 리치 스칼라, Ricci scalar)은 리만 다양체의 곡률을 한 점에서 하나의 실수값으로 나타내는 스칼라장이다. 리치 곡률 텐서(Ricci curvature tensor)의 대각합(trace)으로 정의된다.
리만 다양체 $(M, g)$의 리치 곡률 텐서 $\operatorname{Ric}$에 대하여, 스칼라 곡률 $S$는 다음과 같이 정의된다.
$$ S = \operatorname{tr}_g \operatorname{Ric} $$
지표 표기법으로는 $S = R_{ij} g^{ij}$로 나타내며, 기호는 대개 $R$을 사용하나 리만 곡률 텐서 및 리치 곡률 텐서와의 혼동을 피하기 위해 $S$ 또는 $s$를 쓰기도 한다.
성질
스칼라 곡률은 리만 다양체의 각 점에서 모든 단면 곡률(sectional curvature)들의 평균값을 나타낸다. 즉, 리만 곡률 텐서가 담고 있는 풍부한 곡률 정보를 하나의 실수로 요약한 양이다.
- 2차원의 경우: 리만 곡률 텐서의 성분이 대칭성에 따라 하나뿐이므로, 스칼라 곡률만으로 곡률이 완전히 결정된다. 2차원에서 스칼라 곡률은 가우스 곡률(Gaussian curvature)의 두 배이다.
- 3차원 이상의 경우: 스칼라 곡률만으로는 다양체의 곡률을 완전히 기술할 수 없으며, 리만 곡률 텐서 및 리치 곡률 텐서와 함께 사용된다.
총스칼라곡률
스칼라 곡률 함수를 다양체 전체에 대해 적분한 값을 총스칼라곡률(total scalar curvature)이라고 한다. 이는 리만 기하학에서 중요한 역할을 하며, 특히 2차원의 경우 가우스-보네 정리(Gauss-Bonnet theorem)에 의해 총스칼라곡률이 다양체의 오일러 지표(Euler characteristic)와 직접적으로 연결된다.
물리학에서의 의미
일반상대성이론에서 스칼라 곡률은 아인슈타인 방정식(Einstein field equations)에 등장하는 핵심적인 양이다. 아인슈타인 텐서 $G_{\mu u} = R_{\mu u} - \frac{1}{2}R g_{\mu u}$에서 $R$이 바로 스칼라 곡률이며, 이는 시공간의 곡률과 물질-에너지 분포 사이의 관계를 나타낸다.
참고
- 스칼라 곡률은 리만 기하학(Riemannian geometry)과 미분기하학의 핵심 개념이다.
- 리치 곡률 텐서의 대각합이라는 정의로 인해, 리치 평탄(Ricci-flat) 다양체에서는 스칼라 곡률이 0이 된다.
