일반 상대성 이론에서, 슈바르츠실트 해(Schwarzschild solution)는 아인슈타인 장 방정식의 가장 단순하면서도 가장 중요한 엄밀해 중 하나이다. 이 해는 거대하고 회전하지 않는 구형 대칭 물체의 외부 시공간을 기술하며, 1915년 말 독일의 천문학자이자 물리학자인 카를 슈바르츠실트(Karl Schwarzschild)가 아인슈타인의 일반 상대성 이론 발표 직후 제1차 세계 대전의 동부 전선에서 복무 중 발견하여 1916년 1월에 발표하였다. 슈바르츠실트 해 유도는 이러한 해를 수학적으로 도출하는 전 과정을 의미한다.
기본 가정
슈바르츠실트 해를 유도하기 위해 다음과 같은 가정을 설정한다.
- 구형 대칭(Spherical Symmetry): 시공간이 모든 회전 및 반사 변환에 대해 불변이다.
- 정적(Static): 모든 계량 성분이 시간 좌표 $t$에 독립적이며(즉, $\partial_t g_{\mu u}=0$), 시간 반전 $t \rightarrow -t$에 대해서도 기하 구조가 변하지 않는다.
- 진공(Vacuum): 에너지-운동량 텐서가 $T_{ab}=0$인 영역을 다룬다. 우주 상수가 0일 경우, 아인슈타인 장 방정식 $R_{ab} - \frac{R}{2}g_{ab}=0$으로부터 리치 곡률 텐서 $R_{ab}=0$이 유도된다.
- 계량 부호수(Metric Signature): $(+,+,+,-)$를 사용한다.
유도 과정 개요
1. 계량의 대각화
구형 대칭과 정적 조건을 적용하면, 계량 텐서의 비대각 성분들이 모두 0이 되어 계량이 대각 행렬 형태로 단순화된다. 이는 시간 반전 및 각도 반전 변환에서 계량 성분이 불변해야 한다는 조건으로부터 유도된다.
$$ ds^2 = g_{11} dr^2 + g_{22} d\theta^2 + g_{33} d\phi^2 + g_{44} dt^2 $$
2. 성분 단순화
구형 대칭성으로부터 $g_{11}$과 $g_{44}$는 반지름 $r$만의 함수가 된다.
$$ g_{11} = A(r), \quad g_{44} = B(r) $$
또한, $t$와 $r$이 일정한 초곡면에서 계량은 2차원 구면의 계량과 일치해야 하므로,
$$ g_{22} = r^2, \quad g_{33} = r^2 \sin^2\theta $$
를 얻는다. 따라서 계량은 다음과 같은 형태로 놓을 수 있다.
$$ ds^2 = A(r) dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta , d\phi^2 + B(r) dt^2 $$
여기서 $A(r)$와 $B(r)$는 아직 결정되지 않은 함수이다.
3. 크리스토펠 기호 계산
위 계량으로부터 크리스토펠 기호(Christoffel symbols) $\Gamma^\rho_{\mu u}$를 계산한다. 이는 리만 곡률 텐서와 리치 곡률 텐서를 구하는 데 필요한 중간 단계이다.
4. 장 방정식 적용
진공 장 방정식 $R_{\alpha\beta}=0$을 적용하여 $A(r)$와 $B(r)$에 대한 미분 방정식을 얻는다. 리치 곡률 텐서의 성분을 계산하면 다음 관계식이 도출된다.
$$ A'B + AB' = 0 \quad \Rightarrow \quad A(r)B(r) = K \quad (\text{상수}) $$
이를 이용하여 정리하면 다음 미분 방정식을 얻는다.
$$ rA' = A(1 - A) $$
이 방정식의 일반해는 다음과 같다.
$$ A(r) = \left(1 + \frac{1}{Sr}\right)^{-1} $$
여기서 $S$는 0이 아닌 실수 상수이다. 따라서 계량은 다음과 같아진다.
$$ ds^2 = \left(1 + \frac{1}{Sr}\right)^{-1} dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta , d\phi^2) + K\left(1 + \frac{1}{Sr}\right) dt^2 $$
이 계량은 $r \rightarrow \infty$일 때 민코프스키 계량에 점근적으로 접근한다(점근적 평탄성).
5. 약한 장 근사를 통한 상수 결정
상수 $K$와 $S$는 약한 장 근사(weak-field approximation)를 통해 결정된다. 뉴턴 중력 퍼텐셜과의 일치 조건으로부터,
$$ g_{44} = K\left(1 + \frac{1}{Sr}\right) \approx -c^2 + \frac{2Gm}{r} $$
이 성립해야 하므로,
$$ K = -c^2, \quad \frac{1}{S} = -\frac{2Gm}{c^2} $$
를 얻는다. 여기서 $G$는 중력 상수, $m$은 중력원의 질량, $c$는 빛의 속도이다.
최종 결과: 슈바르츠실트 계량
위 상수들을 대입하면 최종적으로 슈바르츠실트 계량이 완성된다.
$$ ds^2 = \left(1 - \frac{2Gm}{c^2 r}\right)^{-1} dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta , d\phi^2) - c^2\left(1 - \frac{2Gm}{c^2 r}\right) dt^2 $$
슈바르츠실트 반지름 $r_s = \frac{2Gm}{c^2}$을 사용하면 다음과 같이 간결하게 표현된다.
$$ ds^2 = \left(1 - \frac{r_s}{r}\right)^{-1} dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta , d\phi^2) - c^2\left(1 - \frac{r_s}{r}\right) dt^2 $$
주요 특징 및 의의
- 사건의 지평선: $r = r_s$에서 계량이 특이점을 가지나, 이는 좌표 특이점( coordinate singularity)으로서 크루스칼-세케레스(Kruskal-Szekeres) 좌표계와 같은 적절한 좌표 변환을 통해 제거될 수 있다. 반면 $r = 0$에서의 특이점은 물리적 특이점(중력 특이점)이다.
- 버코프의 정리(Birkhoff's Theorem): 구형 대칭인 진공 해는 자동으로 정적이므로, 유도 과정에서 정적 가정은 필수적이지 않다. 이는 구형 대칭을 유지하며 맥동하는 별이 외부에 중력파를 방출하지 않음을 의미한다.
- 블랙홀 예측: 슈바르츠실트 해는 블랙홀의 존재를 이론적으로 예측하였으며, 슈바르츠실트 블랙홀(비회전, 무전하 블랙홀)의 시공간을 완전히 기술한다.
- 응용: 수성의 세차 운동, 중력 렌즈 효과, 중력 적색 편이 등 일반 상대성 이론의 주요 예측들을 계산하는 데 가장 기본적인 근사치로 사용된다.
등방 좌표계에서의 표현
아서 스탠리 에딩턴(Arthur Stanley Eddington)은 등방성 좌표계(isotropic coordinates)에서 슈바르츠실트 계량의 다른 형태를 제시하였다. 등방 구면 좌표 $(r_1, \theta, \phi)$에서 $r = r_1\left(1 + \frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^2$의 변환을 통해 계량이 등방 직사각형 좌표에서 다음과 같이 표현된다.
$$ ds^2 = \left(1 + \frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^4 (dx^2 + dy^2 + dz^2) - c^2 dt^2 \left(1 - \frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^2 / \left(1 + \frac{Gm}{2c^2 r_1}\right)^2 $$
슈바르츠실트 해 유도는 일반 상대성 이론의 가장 기본적이면서도 핵심적인 결과를 수학적으로 도출하는 과정으로, 현대 물리학과 천체물리학의 중요한 기초를 이룬다.
