슈뢰딩거 방정식 (Schrödinger equation)은 양자역학에서 입자의 시간 변화를 기술하는 기본적인 방정식이다. 고전역학의 뉴턴 운동 방정식에 비견될 수 있으며, 양자계의 파동함수가 시간에 따라 어떻게 변하는지를 나타낸다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 1925년에 발표했으며, 이후 양자역학의 발전에 지대한 영향을 미쳤다.
슈뢰딩거 방정식은 시간 의존 슈뢰딩거 방정식과 시간 독립 슈뢰딩거 방정식으로 나뉜다.
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시간 의존 슈뢰딩거 방정식: 시간에 따라 변하는 계를 기술하며, 다음과 같은 형태로 표현된다.
iħ ∂Ψ(r, t)/∂t = HΨ(r, t)여기서
i는 허수 단위,ħ는 디랙 상수,Ψ(r, t)는 파동함수,H는 해밀토니안 연산자를 나타낸다. 해밀토니안 연산자는 계의 총 에너지를 나타내는 연산자이며, 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지 항을 포함한다. -
시간 독립 슈뢰딩거 방정식: 시간이 지나도 변하지 않는 정상 상태를 기술하며, 시간 의존 슈뢰딩거 방정식으로부터 유도될 수 있다.
Hψ(r) = Eψ(r)여기서
ψ(r)는 시간 독립 파동함수,E는 에너지 고유값을 나타낸다. 시간 독립 슈뢰딩거 방정식은 특정 에너지 값을 가지는 파동함수를 찾는 문제, 즉 고유값 문제로 해석될 수 있다.
슈뢰딩거 방정식은 원자, 분자, 고체 등 다양한 물리 계를 이해하고 예측하는 데 사용된다. 예를 들어, 수소 원자의 에너지 준위 계산, 화학 결합의 성질 연구, 반도체의 전자 구조 분석 등에 활용된다. 슈뢰딩거 방정식의 해를 구하는 것은 일반적으로 매우 복잡하며, 수치적인 방법이나 근사적인 방법을 사용해야 하는 경우가 많다.