슈뢰딩거 방정식(Schrödinger equation)은 비상대론적 양자역학 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다. 오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거(Erwin Schrödinger)가 1926년에 도입하였으며, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.
양자역학에서 슈뢰딩거 방정식은 고전역학에서의 뉴턴의 운동 방정식(F=ma)에 해당하는 기본 원리로, 다른 이론으로부터 완전히 유도된다기보다 양자역학 자체의 공준(Postulate)으로 받아들여진다. 이 방정식은 입자의 상태를 나타내는 파동 함수(wave function)의 시간적 변화를 기술한다.
가장 일반적인 형태의 시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 표현된다:
$$ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle = \hat{H} |\psi\rangle $$
여기서 $ \hbar $는 디랙 상수(환산 플랑크 상수), $ |\psi\rangle $는 계의 상태 벡터(파동 함수), $ \hat{H} $는 해밀토니언 연산자이다. 질량 m인 입자가 퍼텐셜 $ V(\mathbf{x},t) $ 속에 있을 때 해밀토니언은 $ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} abla^2 + V(\mathbf{x},t) $로 주어지며, 이 경우 방정식은 2차 편미분 방정식의 형태가 된다.
슈뢰딩거 방정식의 이론적 배경은 1905년 아인슈타인의 광전효과 설명, 1924년 드 브로이의 물질파 가설(모든 입자가 대응되는 파동 함수를 가진다는 주장)에 기반한다. 슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상 인자로 나타내고, 고전역학적 에너지 공식 $ E = p^2/2m + V $에 양자역학적 연산자 대응 관계를 적용하여 방정식을 도출하였다.
슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로 특수상대론과 불합한다. 이를 상대론적으로 일반화하면 입자의 스핀에 따라 클라인-고든 방정식(Klein-Gordon equation)이나 디랙 방정식(Dirac equation)을 얻으며, 이들은 비상대론적 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다. 또한 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 기술하기 위해 슈뢰딩거 방정식에 비선형 항을 추가한 그로스-피타옙스키 방정식(Gross-Pitaevskii equation)도 활용된다.
슈뢰딩거 방정식은 양자역학 전반, 원자 및 분자 물리학, 고체 물리학, 화학, 나노과학 등 광범위한 분야에서 계의 상태를 계산하고 예측하는 핵심 도구로 사용된다.
