수직축 정리는 물리학, 특히 강체의 회전 운동을 다루는 역학에서 관성 모멘트를 계산할 때 사용되는 중요한 정리 중 하나이다. 이 정리는 주로 평면 물체(얇은 판 또는 라미나)에 적용되며, 물체의 평면에 수직인 축에 대한 관성 모멘트와 물체 평면 내의 두 직교하는 축에 대한 관성 모멘트 사이의 관계를 설명한다. 영어로는 "Perpendicular Axis Theorem"으로 알려져 있다.
정리의 내용 평면 형태의 물체(라미나)가 있을 때, 물체 평면에 놓여 있는 서로 수직인 두 축(x축과 y축)에 대한 관성 모멘트의 합은, 그 두 축이 교차하는 점을 지나고 물체 평면에 수직인 축(z축)에 대한 관성 모멘트와 같다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다:
$I_z = I_x + I_y$
여기서,
- $I_x$: x축에 대한 관성 모멘트
- $I_y$: y축에 대한 관성 모멘트
- $I_z$: z축에 대한 관성 모멘트
가정 및 조건 수직축 정리가 적용되기 위한 주요 조건은 다음과 같다:
- 평면 물체(Lamina): 이 정리는 반드시 얇은 판 형태의 물체, 즉 질량이 주로 2차원 평면에 분포하는 물체에만 적용된다. 두께가 상당한 3차원 물체에는 직접 적용할 수 없다.
- 직교하는 축: $I_x$, $I_y$, $I_z$를 계산하는 세 축은 서로 직교해야 하며, $I_x$와 $I_y$ 축은 물체의 평면 안에 놓여야 한다. 또한 이 세 축은 모두 한 점에서 교차해야 한다.
증명 수직축 정리는 관성 모멘트의 정의($I = \int r^2 dm$)로부터 유도될 수 있다. 물체의 한 질량 요소 $dm$이 xy 평면에서 (x, y) 좌표에 있다고 가정하자.
- x축으로부터의 거리는 $y$이므로 $I_x = \int y^2 dm$
- y축으로부터의 거리는 $x$이므로 $I_y = \int x^2 dm$
- z축으로부터의 거리는 $\sqrt{x^2 + y^2}$이므로 $I_z = \int (x^2 + y^2) dm$ 따라서 $I_z = \int x^2 dm + \int y^2 dm = I_y + I_x$ 가 성립한다.
활용 수직축 정리는 원반, 사각형 판 등 평면형 물체의 관성 모멘트를 계산할 때 유용하게 사용된다. 예를 들어, 원반의 지름 축에 대한 관성 모멘트를 알고 있다면, 수직축 정리를 이용해 원반의 중심을 통과하고 평면에 수직인 축에 대한 관성 모멘트를 쉽게 구할 수 있다. 이는 복잡한 적분 계산을 피하고 효율적으로 관성 모멘트를 파악하는 데 도움을 준다.
관련 정리 수직축 정리와 함께 관성 모멘트 계산에 많이 사용되는 정리로는 평행축 정리(Parallel Axis Theorem)가 있다. 평행축 정리는 질량 중심을 지나는 축에 대한 관성 모멘트를 알 때, 그 축과 평행한 다른 축에 대한 관성 모멘트를 구하는 데 사용된다. 두 정리는 서로 다른 상황에서 관성 모멘트를 계산하는 보완적인 역할을 한다.