선형대수학에서 수반 행렬(隨伴行列, adjoint matrix 또는 adjugate matrix)은 정사각행렬 A에 대해, 각 원소의 여인수(cofactor)들로 구성된 여인수 행렬(cofactor matrix)의 전치 행렬(transpose matrix)을 의미한다. 주로 행렬의 역행렬(inverse matrix)을 계산하거나, 이론적인 행렬의 성질을 분석할 때 사용된다. 일반적으로 adj(A)로 표기한다.
계산 방법
수반 행렬 adj(A)는 다음과 같은 단계를 통해 계산된다. A가 n×n 정사각행렬이라고 가정한다.
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여인수(Cofactor) 계산: 행렬 A의 각 원소 a_ij에 대한 여인수 C_ij를 계산한다. 여인수 C_ij는 다음과 같이 정의된다:
C_ij = (-1)^(i+j) * M_ij여기서 M_ij는 a_ij를 포함하는 i번째 행과 j번째 열을 제거하여 얻은 (n-1)×(n-1) 부분 행렬의 행렬식(determinant)으로, 소행렬식(minor)이라고 불린다. -
여인수 행렬(Cofactor Matrix) 구성: 계산된 모든 여인수 C_ij를 원래 행렬 A의 위치에 배열하여 여인수 행렬 C를 구성한다.
C = [C_ij] -
전치 행렬(Transpose Matrix) 취하기: 구성된 여인수 행렬 C의 전치 행렬을 구한다. 이 전치 행렬이 바로 수반 행렬 adj(A)이다.
adj(A) = C^T
주요 성질
수반 행렬은 다음과 같은 중요한 성질들을 가진다. A는 n×n 정사각행렬이다.
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기본 관계식:
A * adj(A) = adj(A) * A = det(A) * I여기서 det(A)는 A의 행렬식이고, I는 n×n 단위행렬(identity matrix)이다. 이 성질은 역행렬 계산에 직접적으로 사용된다. 만약 det(A) ≠ 0 이면, A의 역행렬은 다음과 같이 계산된다.A⁻¹ = (1/det(A)) * adj(A) -
수반 행렬의 행렬식:
det(adj(A)) = (det(A))^(n-1) -
곱의 수반 행렬:
adj(AB) = adj(B) * adj(A) -
스칼라 곱의 수반 행렬:
adj(kA) = k^(n-1) * adj(A)(단, k는 스칼라) -
단위행렬의 수반 행렬:
adj(I) = I -
역행렬의 수반 행렬:
adj(A⁻¹) = (adj(A))⁻¹ = A / det(A)(단, det(A) ≠ 0) -
전치 행렬의 수반 행렬:
adj(A^T) = (adj(A))^T
켤레전치 행렬(Hermitian Adjoint)과의 구분
일부 문헌이나 분야(특히 양자역학)에서는 켤레전치 행렬(conjugate transpose, A* 또는 A^†)을 '수반 행렬(adjoint matrix)' 또는 '에르미트 수반 행렬(Hermitian adjoint matrix)'이라고 부르기도 한다. 그러나 일반적인 선형대수학에서는 '수반 행렬'이라고 하면 본 문서에서 설명하는 '고전적 수반 행렬(classical adjoint matrix)' 또는 '고전적 수반 행렬(adjugate matrix)'을 의미한다. 따라서 혼동을 피하기 위해 사용되는 용어의 맥락을 명확히 하는 것이 중요하다.
응용 분야
- 행렬의 역행렬 계산: 역행렬이 존재하는 경우, 수반 행렬을 이용하여 역행렬을 계산할 수 있다.
- 크라머의 법칙(Cramer's Rule) 증명: 연립일차방정식을 푸는 크라머의 법칙의 증명 과정에 수반 행렬이 사용된다.
- 이론적인 선형대수학 연구: 행렬의 다양한 성질을 탐구하고 증명하는 데 유용하게 활용된다.