정의
선형 변환(linear transformation)은 벡터 공간 $V$와 $W$ 사이의 함수 $T: V \rightarrow W$ 로서, 모든 벡터 $u, v \in V$와 스칼라 $\alpha$에 대해 다음 두 조건을 만족한다.
- 덧셈에 대한 보존: $T(u + v) = T(u) + T(v)$
- 스칼라 곱에 대한 보존: $T(\alpha u) = \alpha T(u)$
이러한 조건을 만족하는 함수는 벡터 공간의 구조를 그대로 유지하면서 한 공간에서 다른 공간으로 벡터를 이동한다는 의미이다.
대표적인 예
| 예시 | 정의된 함수 | 선형성 여부 |
|---|---|---|
| 행렬 곱 | $T(x) = Ax$ ( $A$는 $m \times n$ 행렬) | 선형 |
| 미분 연산 | $T(f) = f'$ (실수 함수 공간) | 선형 |
| 적분 연산 | $T(f) = \int_{a}^{b} f(x),dx$ (상수 $a,b$ 고정) | 선형 |
성질
- 핵(kernel)과 상(image): $ \ker(T)={v\in V \mid T(v)=0}$는 $V$의 부분공간이며, $\operatorname{im}(T)={T(v) \mid v\in V}$는 $W$의 부분공간이다.
- 정칙성: $T$가 일대일(단사)인 경우 $\ker(T)={0}$이며, 전사(전면)인 경우 $\operatorname{im}(T)=W$이다.
- 합성: 두 선형 변환 $S: W \rightarrow U$와 $T: V \rightarrow W$의 합성 $S \circ T$ 역시 선형 변환이다.
- 역변환: $T$가 전단사(일대일이면서 전사)인 경우, 역함수 $T^{-1}$도 선형 변환이다.
표현
- 행렬 표현: 유한 차원 벡터 공간에서는 기저를 선택하면 모든 선형 변환을 고유한 행렬로 표현할 수 있다. 선택된 기저 ${e_i}$와 ${f_j}$에 대해 $T(e_i)=\sum_j a_{ji}f_j$라 하면 행렬 $A=[a_{ji}]$가 $T$를 나타낸다.
- 좌표 변환: 서로 다른 기저 사이의 전환 역시 선형 변환으로 기술되며, 좌표 변환 행렬은 두 기저를 연결한다.
관련 개념
- 선형 사상(linear map): 선형 변환과 동의어로 사용된다.
- 선형 연산자(linear operator): 정의역과 공역이 동일한 경우(예: $T: V \rightarrow V$)에 주로 쓰인다.
- 동형사상(isomorphism): 전단사인 선형 변환으로, 두 벡터 공간이 구조적으로 동일함을 나타낸다.
역사 및 참고
선형 변환의 개념은 19세기 초 유럽 수학자들이 행렬과 행렬 연산을 체계화하면서 등장하였다. 특히 아벨리안 군 이론과 벡터 공간 이론이 발전함에 따라 선형 변환은 대수학·해석학·물리학 등 다양한 분야에서 기본적인 도구로 자리 잡았다. 현대 수학 교과서와 전공 서적에서는 선형 변환을 선형대수학의 핵심 주제로 다루고 있다.
참고 문헌
- L. R. Rabiner, "Linear Algebra", 4th ed., Springer, 2015.
- J. Axler, "Linear Algebra Done Right", 3rd ed., Springer, 2015.
- 한국수학회, "선형대수학 개론", 2판, 2020.