서수는 순서나 위치를 나타내는 수로, 수학과 언어학에서 각각 의미가 정의되어 널리 사용되는 개념이다.
언어학적 의미
언어학에서 서수는 사물이나 사람의 순서, 순번을 나타내는 수사를 말한다. '하나, 둘, 셋'처럼 개수를 세는 기수(基數)와 달리, 서수는 '첫 번째, 두 번째, 세 번째'처럼 순서상의 위치를 나타낸다. 영어의 경우 'first, second, third'에 해당하며, 한국어에서는 '첫째, 둘째, 셋째' 또는 '제일, 제이, 제삼' 등의 형태로 표현된다. 서수는 순서(order) 또는 위치(position)를 나타낸다는 점에서 기수의 수량(quantity) 표시 기능과 구분된다.
수학적 의미
수학, 특히 집합론에서 서수(순서수, 順序數, 영어: ordinal)는 정렬 전순서 집합들의 "길이"를 측정하는 수의 일종이다. 자연수를 확장한 개념으로, 자연수들의 정렬 전순서 집합과 같은 무한 정렬 전순서 집합들의 크기(순서형)를 측정하는 무한 순서수들도 존재한다.
구체적으로, 자연수는 집합의 크기를 표현하기 위해 사용되기도 하고, 수열에서 원소의 위치를 나타내기 위해 사용되기도 한다. 유한 집합의 경우 이 두 용법은 크게 구분되지 않지만, 무한 집합의 경우 구분이 중요해진다. 전자를 확장한 개념이 기수(cardinal number)이고, 후자를 확장한 개념이 서수(ordinal number)이다.
역사
서수의 개념은 게오르크 칸토어(Georg Cantor)가 1883년에 도입하였다. 초기의 동치류 기반 정의는 고유 모임을 다루는 집합론적 결함이 있었으며, 이후 존 폰 노이만(John von Neumann)이 1923년에 오늘날 표준적으로 사용되는 정의를 제시하였다.
주요 종류와 성질
서수는 유한 서수와 무한(초한) 서수로 구분된다. 유한 서수는 자연수와 대응되며, 가장 작은 무한 순서수는 ω(오메가)로 표기되는데 이는 자연수 전체 집합의 순서형과 같다. 이후 ω+1, ω+2, ω·2, ω² 등이 이어진다. 순서수들은 다시 따름 순서수(successor ordinal)와 극한 순서수(limit ordinal)로 분류되며, 초한 귀납법을 적용할 때 개별적으로 다루어진다.
순서수의 덧셈과 곱셈은 교환 법칙을 만족시키지 않는다는 점이 특히 주목할 만한 성질이다. 예를 들어 1+ω = ω이지만 ω+1은 ω보다 크므로 두 결과가 다르다. 이는 자연수 연산과 구별되는 순서수 연산의 특징이다.
응용
서수의 개념은 초한 귀납법을 사용할 때 필수적이며, 측도론에서 보렐 집합의 분류, 증명 이론에서 수학 이론의 강력한 정도를 측정하는 순서수 분석 등 다양한 분야에 응용된다.
