삼각함수(三角函數, trigonometric functions)는 각의 크기를 변수(매개변수)로 취하여 삼각형의 변의 길이 비율로 나타내는 수학 함수이다. 주로 직각삼각형의 각과 변의 길이 사이의 관계에서 유도되었으며, 단위원을 통해 일반적인 각에 대해서도 확장 정의된다. 삼각함수는 주기적인 현상을 설명하는 데 핵심적인 역할을 하며, 수학, 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽스, 천문학 등 다양한 분야에서 활용된다.
주요 삼각함수:
- 사인 (sine, sin): 직각삼각형에서 빗변에 대한 대변의 길이의 비.
- 코사인 (cosine, cos): 직각삼각형에서 빗변에 대한 밑변의 길이의 비.
- 탄젠트 (tangent, tan): 직각삼각형에서 밑변에 대한 대변의 길이의 비.
역수 삼각함수:
- 코시컨트 (cosecant, csc): 사인의 역수 (1/sin).
- 시컨트 (secant, sec): 코사인의 역수 (1/cos).
- 코탄젠트 (cotangent, cot): 탄젠트의 역수 (1/tan).
역사 및 발전: 삼각함수의 개념은 고대 그리스의 히파르코스(Hipparchus)와 프톨레마이오스(Ptolemy)의 현표(chord table)에서 시작되었으며, 인도의 아리아바타(Aryabhata)가 현대적인 사인, 코사인 개념을 도입했다. 이후 이슬람 학자들과 유럽의 수학자들을 거쳐 현재의 형태로 발전하였다. 오일러(Euler)는 복소수에서의 삼각함수를 정의하고, 오일러 공식(e^(ix) = cos(x) + i sin(x))을 통해 삼각함수와 지수함수의 관계를 밝혀내 수학적 활용의 폭을 넓혔다.
성질: 삼각함수는 특정 주기(예: 사인, 코사인은 2π)를 가지고 반복되는 주기함수이다. 또한 피타고라스 항등식 (sin²θ + cos²θ = 1)과 같은 기본적인 관계식들을 만족한다. 덧셈 정리, 배각 공식, 반각 공식 등 다양한 항등식이 존재하여 복잡한 삼각함수 식을 간단하게 표현하거나 변형하는 데 사용된다.
응용 분야:
- 물리학: 파동(소리, 빛, 전자기파), 진동, 단조화 운동 등의 주기적 현상 분석.
- 공학: 신호 처리 (푸리에 분석), 전기 공학 (교류 회로), 기계 공학 (진동), 건축 (구조 계산).
- 천문학 및 항해: 천체의 위치 계산, 위도와 경도 측정, 지도 제작.
- 컴퓨터 그래픽스: 3D 모델링, 애니메이션, 이미지 처리.
- 수학: 미적분학, 복소 해석학, 푸리에 급수, 미분 방정식 등 다양한 분야의 기초를 이룬다.