삼각지붕(三角지붕, 영어: triangular cupola)은 기하학에서 존슨의 다면체 중 하나로, J3에 해당한다. 이는 육팔면체(cuboctahedron)의 절반으로 볼 수 있다.
개요
삼각지붕은 1966년 노만 존슨(Norman W. Johnson)이 처음으로 목록화한 92개의 엄격히 볼록한 다면체(존슨의 다면체) 중 하나이다. 존슨의 다면체는 정다각형 면을 가지지만, 플라톤 다면체, 아르키메데스의 다면체, 각기둥, 또는 엇각기둥에 속하지 않는 다면체를 말한다.
성질
삼각지붕은 다음과 같은 기하학적 성질을 가진다.
- 면(face): 삼각형 1+3개, 사각형 3개, 육각형 1개로 총 8개의 면으로 구성된다.
- 모서리(edge): 15개
- 꼭짓점(vertex): 9개
- 꼭짓점 배치(vertex configuration): 6개의 꼭짓점은 3.4.6, 3개의 꼭짓점은 3.4.3.4의 배치를 가진다.
- 대칭군(symmetry group): C₃ᵥ
공식
모든 면이 변의 길이가 $a$인 정다각형일 때, 부피 $V$와 겉넓이 $A$는 다음과 같다.
$$ V = \left(\frac{5}{3\sqrt{2}}\right)a^3 \approx 1.17851,a^3 $$
$$ A = \left(3 + \frac{5\sqrt{3}}{2}\right)a^2 \approx 7.33013,a^2 $$
쌍대다면체
삼각지붕의 쌍대다면체(dual polyhedron)는 삼각형 면 6개와 연꼴면(kite face) 3개를 가진다.
관련 다면체와 벌집
삼각지붕은 사각지붕 3개를 붙일 수 있으며, 인접한 동일평면 상의 면을 만든다. 이 경우 동일평면 상의 면이 존재하므로 존슨의 다면체가 아니다. 또한 삼각지붕은 정팔면체(regular octahedron) 및 사각뿔(square pyramid)과 함께 공간 테셀레이션(space tiling)을 이룰 수 있다.
정다각형으로 이루어진 지붕(cupola) 족은 n=5(오각형)까지 존재하며, 이등변삼각형이 지붕에 사용될 경우 더 높은 차수까지 확장될 수 있다.
