삼각 함수 항등식(三角函數恒等式, 영어: trigonometric identity)은 삼각함수가 포함된 항등식을 말한다. 이는 변수의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식으로, 복잡한 삼각함수 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분(삼각 치환)에서 자주 사용된다.
기본 관계식
삼각함수 사이의 기본적인 관계는 다음과 같다.
- $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$, $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x} = \dfrac{1}{\tan x}$
- $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$, $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$
주기성
삼각함수는 일정한 주기를 가지고 반복된다. ($k$는 정수)
- $\sin x = \sin(x + 2k\pi)$, $\cos x = \cos(x + 2k\pi)$, $\tan x = \tan(x + k\pi)$
- $\sec x = \sec(x + 2k\pi)$, $\csc x = \csc(x + 2k\pi)$, $\cot x = \cot(x + k\pi)$
대칭성
- $\sin(-x) = -\sin x$, $\cos(-x) = \cos x$, $\tan(-x) = -\tan x$
- $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$, $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$, $\tan(\pi/2 - x) = \cot x$
- $\sin(\pi - x) = \sin x$, $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\tan(\pi - x) = -\tan x$
피타고라스 항등식
- $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
- $\tan^2 x + 1 = \sec^2 x$
- $\cot^2 x + 1 = \csc^2 x$
덧셈정리
- $\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$
- $\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$
- $\tan(x \pm y) = \dfrac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y}$
배각 공식
- $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
- $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$
- $\tan 2x = \dfrac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$
반각 공식
- $\left|\sin \dfrac{x}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{2}}$
- $\left|\cos \dfrac{x}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 + \cos x}{2}}$
- $\left|\tan \dfrac{x}{2}\right| = \sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}$
삼각함수의 합을 곱으로 변환
주기가 같지만 위상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 위상의 동일 주기 사인파가 된다.
- $a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2} \cdot \sin(x + \varphi)$ (여기서 $\varphi = \arctan(b/a)$ ($a \geq 0$), $\varphi = \arctan(b/a) \pm \pi$ ($a < 0$))
삼각 함수 항등식은 고대 그리스 수학에서부터 연구되었으며, 현재는 기하학, 물리학, 공학, 신호 처리, 푸리에 해석 등 다양한 분야에서 핵심적인 도구로 사용된다.
