산술 도함수

산술 도함수(算術導函數, arithmetic derivative)는 정수 또는 유리수 집합에서 정의되는 함수로, 고전적인 미적분학의 도함수와 유사하게 곱셈에 대한 라이프니츠 규칙을 만족한다.

정의

산술 도함수 d(n)은 다음과 같이 정의된다.

1. 소수 기준: 임의의 소수 p에 대해 d(p) = 1이다.
2. 라이프니츠 규칙: 임의의 두 양의 정수 a, b에 대해 d(ab) = d(a)b + a d(b)를 만족한다.

이 두 규칙을 통해 모든 양의 정수에 대한 산술 도함수를 유일하게 계산할 수 있다. 특히, 정수 n이 소인수분해되어 n = p₁^a₁ * p₂^a₂ * ... * pₖ^aₖ (여기서 pᵢ는 서로 다른 소수, aᵢ는 양의 정수)와 같이 표현될 때, 라이프니츠 규칙을 반복적으로 적용하면 d(p^k) = k * p^(k-1) 임을 유도할 수 있다. 이를 이용해 d(n)은 다음과 같이 계산될 수 있다.

d(n) = n * Σ (aᵢ / pᵢ) (여기서 Σ는 i=1부터 k까지의 합)

산술 도함수는 양의 유리수로도 확장될 수 있다. 분수 a/b에 대해 다음과 같이 정의된다.

d(a/b) = (d(a)b - a d(b)) / b²

성질

• d(1) = 0 (라이프니츠 규칙 d(1*1) = d(1)*1 + 1*d(1)로부터 d(1) = 2d(1)이므로 d(1)=0)
• d(p^k) = k * p^(k-1) (소수 p, 양의 정수 k에 대해)
• 산술 도함수는 곱셈적 함수(multiplicative function)가 아니다. 즉, gcd(m,n)=1일 때 일반적으로 d(mn) ≠ d(m)d(n)이다.

예시

• d(1) = 0
• d(2) = 1 (2는 소수)
• d(3) = 1 (3은 소수)
• d(4) = d(2^2) = 2 * 2^(2-1) = 2 * 2 = 4 (또는 d(2*2) = d(2)*2 + 2*d(2) = 1*2 + 2*1 = 4)
• d(6) = d(2*3) = d(2)*3 + 2*d(3) = 1*3 + 2*1 = 3 + 2 = 5
• d(12) = d(2^2 * 3) = d(2^2)*3 + 2^2*d(3) = 4*3 + 4*1 = 12 + 4 = 16
• 유리수 예시: d(1/2) = (d(1)*2 - 1*d(2)) / 2^2 = (0*2 - 1*1) / 4 = -1/4

역사 및 의의

이 개념은 1905년 루돌프 럴히(Rudolf Lerch)에 의해 처음 도입되었으나, 이후 데이비드 바보(David Barbeau) 등에 의해 다시 주목받았다.

산술 도함수는 주류 정수론에서는 널리 사용되는 개념은 아니지만, 미적분학의 개념을 정수론에 적용한 흥미로운 수학적 호기심으로 여겨진다. 예를 들어, 산술 도함수 방정식 d(n) = n의 해는 n=1이거나 n이 소수일 경우이다.