사칙연산(四則演算, elementary arithmetic)은 산술(算術)에서 다루어지는 계산법 중 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)의 네 가지 이항연산을 통틀어 이르는 말이다. 한자어 '사칙(四則)'은 '네 가지 법칙' 또는 '네 가지 규칙'이라는 뜻이며, '가감승제(加減乘除)'라고도 불린다. 영어로는 'elementary arithmetic'(초등 연산) 또는 'four basic operations of arithmetic'에 해당한다.
자연수 범위에서 정의되는 사칙연산 중 뺄셈과 나눗셈은 항상 닫혀 있지 않다는 제약이 있다. 예를 들어 자연수에서 3-5는 자연수 범위를 벗어나며, 7÷3도 자연수로 표현되지 않는다. 이러한 제약을 해소하기 위한 과정에서 수의 범위가 자연수에서 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장되며, 확장된 수 체계에서 사칙연산은 자유롭게 적용될 수 있다.
사칙연산에는 다음과 같은 기본 성질들이 성립한다.
- 교환법칙(commutative law): 덧셈과 곱셈에서 연산 순서를 바꾸어도 결과가 같다. (a+b = b+a, a×b = b×a)
- 결합법칙(associative law): 세 수 이상의 덧셈과 곱셈에서 연산 순서를 달리하여도 결과가 같다. ((a+b)+c = a+(b+c), (a×b)×c = a×(b×c))
- 분배법칙(distributive law): 곱셈은 덧셈에 대해 분배된다. (a×(b+c) = a×b + a×c)
추상대수학에서는 사칙연산(덧셈과 곱셈)이 자유롭게 적용될 수 있는 수의 집합을 체(field)라고 부른다. 유리수 전체의 집합(Q), 실수의 집합(R), 복소수의 집합(C)이 체에 해당한다.
사칙연산이 혼합된 계산(혼합 계산)에서는 괄호 안을 가장 먼저 계산하며, 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 우선하여 계산하는 것이 일반적인 규칙이다. 이는 수학적 표기의 관례로서, 계산 결과의 일관성을 유지하기 위한 약속이다.
사칙연산의 기호는 역사적으로 발전해 왔다. 덧셈 기호 '+'와 뺄셈 기호 '-'는 15세기 독일의 수학서에서 사용된 것이 기원으로 알려져 있으며, 곱셈 기호 '×'는 17세기 영국의 수학자 윌리엄 오트레드(William Oughtred)가 도입한 것으로 전해진다. 나눗셈 기호 '÷'는 스위스의 수학자 요한 란(Johann Rahn)이 1659년 저서에서 처음 사용한 것으로 알려져 있다.
