사영기하학(射影幾何學, 영어: projective geometry)은 기하학적 대상이 사영변환(투영 변환)에 따라 이동할 때 변하지 않고 보존되는 성질들을 연구하는 수학의 한 분야이다. 어원상 '사영(射影)'은 '화살이를 던져 그림자를 비춘다'는 뜻으로, 한 점에서 도형을 투사하여 얻는 상(像)을 가리키며, 여기에 기하학(幾何學)이 결합된 용어이다. 한자 문화권에서는 '투영기하학'이라는 표기도 함께 쓰인다.
개념과 특징
사영기하학은 유클리드 기하학과 비교하여 계량적(measurable) 개념이 배제된, 비계량적(non-metrical) 기하학이라는 점에서 구별된다. 사영변환 아래에서는 거리, 각도, 평행성이 일반적으로 보존되지 않으므로, 사영기하학에서는 이들 개념 대신 점·직선·평면 사이의 결합 관계(incidence), 교차비(cross-ratio), 조화비 같은 불변량이 기본적인 연구 대상이 된다. 유클리드 평면의 평행선은 사영평면에서 무한원점(point at infinity)에서 만나는 것으로 해석되며, 이를 통해 평행선과 평행하지 않은 직선을 하나의 틀에서 통일적으로 다룰 수 있다. 또한 평행공리를 제거한 공리계를 바탕으로 하며, "두 점은 유일한 직선을 결정한다"와 "두 직선은 유일한 점에서 만난다"처럼 점과 직선을 서로 맞바꾸어도 성립하는 쌍대성(duality) 원리가 핵심적 성질로 꼽힌다.
역사
사영적 성질에 관한 가장 이른 시기의 발견은 3세기경 파푸스의 정리로 거슬러 올라간다. 15세기 초에는 브루넬레스키가 원근법의 기하학적 연구를 시작하였고, 17세기에는 데자르그(G. Desargues)와 케플러가 각각 무한원점 개념을 발전시켰으며, 데자르그의 연구는 젊은 파스칼이 파스칼의 정리를 정립하는 데 영향을 주었다. 다만 데자르그의 업적은 19세기에 이르러 미셸 샬이 필사본을 재발견할 때까지 널리 알려지지 않았다. 19세기 초 퐁슬레(J.-V. Poncelet)가 1822년 사영기하학의 기초가 되는 저술을 발표하면서 이 분야는 독자적인 수학 분야로 확립되었고, 이후 카를 폰 슈타우트, 그리고 페아노·피에리·파노 등 이탈리아 학파에 의해 공리적 기초가 정립되었다. 클라인의 에를랑겐 강령에서는 사영변환군의 불변량으로서 사영기하학을 특징짓는 관점이 제시되었다. 19세기 말 이후에는 사영기하학의 연구 성과가 대수기하학, 불변식론, 유한기하학 등의 발전에 기여하였으며, 쌍곡기하학과 같은 비유클리드 기하학에 대한 모형(예: 클라인 모형) 구성에도 활용되었다.
응용
현대에는 사영기하학이 대수기하학의 사영대수기하학, 사영미분기하학 등 여러 하위 분야로 나뉘어 연구되고 있다. 또한 3차원 장면을 평면에 렌더링하는 컴퓨터 그래픽스와 컴퓨터 비전의 다시점 기하학(multiple view geometry)의 수학적 기반으로 이용되며, 양자역학 관련 연구에서도 사영기하학적 구조가 활용된 사례가 알려져 있다.
같이 보기
- 사영공간
- 사영평면
- 무한원점
- 쌍대성
- 원근법
- 비유클리드 기하학
참고 자료: 위키백과 「사영기하학」(토막글), 영문 위키백과 「Projective geometry」, 한국위키 등 공개 백과사전 및 수학 자료.
