사영값 측도(영어: Projection-valued measure, PVM)는 수학, 특히 함수해석학에서 사용되는 개념으로, 스펙트럼 측도(spectral measure)라고도 불린다. 이는 고정된 집합의 특정 부분집합(가측 집합)에 정의된 함수로서, 그 값이 고정된 힐베르트 공간 위의 자기 수반 사영(orthogonal projection) 연산자로 주어지는 측도를 의미한다. 일반적인 실수값 측도가 각 가측 집합에 실수를 대응시키는 반면, 사영값 측도는 각 가측 집합에 사영 연산자를 대응시킨다는 점에서 형식적으로 유사하지만 값의 성격이 다르다.
정의
분해 가능 복소 힐베르트 공간 H와, 집합 X 및 X 위의 보렐 시그마 대수 M으로 구성된 가측 공간 (X, M)이 주어졌을 때, 사영값 측도 π는 M에서 H 위의 유계 자기 수반 작용소 집합으로 가는 사상으로서 다음 네 가지 성질을 만족한다.
- 모든 E ∈ M에 대해 π(E)는 직교 사영이다.
- π(∅) = 0이고 π(X) = I이다. 여기서 ∅는 공집합, I는 항등 작용소이다.
- M에 속하는 서로소인 집합들 E₁, E₂, E₃, …에 대해, 모든 v ∈ H에서 π(∪ⱼ Eⱼ)v = Σⱼ π(Eⱼ)v가 성립한다.
- 모든 E₁, E₂ ∈ M에 대해 π(E₁ ∩ E₂) = π(E₁)π(E₂)가 성립한다.
두 번째와 네 번째 성질은 서로소인 두 가측 집합에 대응하는 사영들의 상(image)이 서로 직교함을 보여준다.
주요 성질과 활용
사영값 측도는 스펙트럼 이론의 결과를 표현하는 데 사용되며, 특히 자기 수반 작용소에 대한 스펙트럼 정리가 대표적인 예이다. 이 경우 사영값 측도는 스펙트럼 측도라고도 불린다. 자기 수반 작용소에 대한 보렐 범함수 미적분학(Borel functional calculus)은 사영값 측도에 대한 적분을 통해 구성된다.
사영값 측도에 대해서는 복소수값 함수의 적분이 가능하며, 그 적분의 결과는 주어진 힐베르트 공간 위의 선형 작용소가 된다. 유계 보렐 함수 f에 대해, ⟨Tξ|ξ⟩ = ∫ f(λ) dμ_ξ(λ)를 만족하는 유일한 유계 작용소 T가 존재한다는 정리가 성립한다. 이 정리는 무계 가측 함수로 확장될 수 있으며, 이 경우 T는 무계 선형 작용소가 된다.
양자역학에서의 응용
양자역학에서 사영값 측도는 사영 측정(projective measurement)의 수학적 설명을 제공한다. 힐베르트 공간 H의 사영 힐베르트 공간 P(H)는 양자 계의 가능한 상태들의 집합으로 해석되고, 가측 공간 X는 계의 어떤 양자 특성(관측가능량)에 대한 값 공간으로 해석된다. 정규화된 벡터 상태 φ에 대해, 관측가능량이 가측 집합 E에서 값을 취할 확률은 P_π(φ)(E) = ⟨φ|π(E)|φ⟩로 주어진다.
일반화
사영값 측도의 개념은 양의 연산자 값 측도(Positive Operator-Valued Measure, POVM)에 의해 일반화된다. POVM에서는 사영 연산자가 함의하는 직교성의 필요성이 양의 반정부호 에르미트 연산자들의 집합으로 구성된 비직교 "단위 분할" 개념으로 대체된다. 이 일반화는 양자 정보 이론에의 응용에 의해 동기 부여되었다.
관련 문헌
사영값 측도에 대한 주요 참고 문헌으로는 Conway(2000), Hall(2013), Reed & Simon(1980), Rudin(1991) 등의 함수해석학 및 연산자 이론 교재가 있다.
