사영 평면(射影平面, projective plane)은 기하학에서 유클리드 평면에 무한원점(points at infinity)을 추가하여, 임의의 두 직선이 항상 정확히 한 점에서 만나도록 확장한 기하학적 구조이다. 일반 평면에서는 평행한 두 직선이 만나지 않지만, 사영 평면에서는 평행한 직선들이 무한원점에서 만난다고 간주한다.
정의와 구성 가장 일반적인 구성 방법으로는 3차원 벡터 공간 $K^3$ (여기서 $K$는 체)에서 원점을 지나는 1차원 부분 공간들을 점으로, 2차원 부분 공간들을 직선으로 대응시키는 방법이 있다. 이를 동차 좌표(homogeneous coordinates) $(x:y:z)$로 표현하며, $z eq 0$인 점들은 유한 평면상의 점 $(x/z, y/z)$에 대응되고, $z=0$인 점들은 무한원점을 나타낸다.
주요 성질
- 이중성(Duality): 점과 직선의 역할을 서로 바꾸어도 공리계가 성립한다. 즉, "두 점을 지나는 직선은 유일하다"라는 명제와 "두 직선이 만나는 점은 유일하다"라는 명제가 대칭을 이룬다.
- 비유클리드적 위상: 실수 체 $\mathbb{R}$ 위의 사영 평면 $\mathbb{RP}^2$는 뫼비우스 띠 두 개를 붙여 만든 것과 위상적으로 동치인 비정향성(Non-orientable) 닫힌 곡면이다. 3차원 유클리드 공간 속에 자기 교차 없이 매립될 수 없으며(보이어 표면 등으로 몰입은 가능), 오일러 지표는 1이다.
- 사영 변환: 사영 평면 위에서 직선을 보존하는 변환군인 사영 선형 군 $PGL(3, K)$가 작용한다.
종류
- 실수 사영 평면 ($\mathbb{RP}^2$): 실수 체 위의 사영 평면으로, 위상기하학과 미분기하학에서 기본적인 예시가 된다.
- 복소 사영 평면 ($\mathbb{CP}^2$): 복소수 체 위의 사영 평면으로, 대수기하학에서 가장 기본적인 복소 다양체 중 하나이다.
- 유한 사영 평면: 유한 체 $GF(q)$ 위의 사영 평면 $PG(2, q)$로, 조합론과 유한기하학에서 연구된다. 점과 직선의 개수는 각각 $q^2+q+1$개이다.
응용 분야 컴퓨터 비전(카메라 투영 모델링), 컴퓨터 그래픽스(원근 투영), 대수기하학(대수 곡선 연구), 위상수학(곡면 분류), 부호이론 및 암호학(유한 기하학 활용) 등에서 핵심적인 도구로 사용된다.
