사상은 범주론(Category Theory)에서 사용되는 기본 개념으로, 영어 “morphism”에 해당한다. 범주 안에서 객체(object)들을 연결하는 구조적 관계를 나타내며, 범주의 정의에 필수적인 요소이다.
정의
범주 $ \mathcal{C} $는 다음 두 가지 자료로 구성된다.
- 객체(objects)들의 집합 $ \text{Ob}(\mathcal{C}) $
- 사상(morphisms)들의 집합 $ \text{Hom}\mathcal{C}(A, B) $ – 여기서 $ A, B \in \text{Ob}(\mathcal{C}) $이며, $ \text{Hom}\mathcal{C}(A, B) $는 객체 $A$에서 객체 $B$로 향하는 사상의 모음이다.
각 사상 $ f \in \text{Hom}\mathcal{C}(A, B) $는 출처(domain) $A$와 대상(codomain) $B$를 가지고, 두 사상의 합성(composition) 연산
$$
\circ : \text{Hom}\mathcal{C}(B, C) \times \text{Hom}\mathcal{C}(A, B) \to \text{Hom}\mathcal{C}(A, C)
$$
이 정의된다. 합성 연산은 결합법칙을 만족하고, 각 객체 $A$에 대해 항등 사상 $ \text{id}A \in \text{Hom}\mathcal{C}(A, A) $가 존재한다. 항등 사상은 모든 사상 $f : A \to B$와 $g : C \to A$에 대해
$$
\text{id}_B \circ f = f,\qquad g \circ \text{id}_C = g
$$
를 만족한다.
기본 성질
| 성질 | 설명 |
|---|---|
| 동형사상 (Isomorphism) | 사상 $f : A \to B$가 역사상 $g : B \to A$를 가져서 $g \circ f = \text{id}_A$·$f \circ g = \text{id}_B$가 되면, $f$는 동형이라 한다. |
| 단사/전사 (Monomorphism / Epimorphism) | 범주에 따라 정의가 달라지지만, 일반적으로 단사는 왼쪽 합성에서 취소가능, 전사는 오른쪽 합성에서 취소가능한 사상을 가리킨다. |
| 한정/공한정 사상 (Limit / Colimit) | 특정 사상들의 복합 구조를 통해 정의되는 보편적인 객체와 사상의 집합이다. |
| 펑터 (Functor) | 사상과 객체를 보존하는 구조적 변환으로, 사상 $f : A \to B$를 $F(f) : F(A) \to F(B)$로 보내며 합성과 항등을 보존한다. |
예시
-
집합 범주(Set)
- 객체: 모든 집합
- 사상: 함수(매핑)
-
군 범주(Grp)
- 객체: 군
- 사상: 군 준동형(군 동형을 보존하는 함수)
-
위상 공간 범주(Top)
- 객체: 위상 공간
- 사상: 연속 함수
-
선형 대수 범주(Vect_K)
- 객체: $K$-벡터 공간
- 사상: 선형 변환
관련 개념
- 객체 (Object)
- 동형 사상 (Isomorphism)
- 함자 (Functor)
- 자연 변환 (Natural Transformation)
- 한정 (Limit)·공한정 (Colimit)
참고문헌
- S. Mac Lane, Categories for the Working Mathem술, Springer, 1998.
- E. Riehl, Category Theory in Context, Dover Publications, 2017.
- J. Baez, “What is a Category?” The n-Category Café (online).
외부 링크
- 위키백과(한국어) “범주론”
- nLab “morphism” (영문)
※ 본 항목은 한국어 학술 문헌 및 국제적인 교과서에 기반하여 작성되었으며, “사상”이라는 용어는 범주론에서 일반적으로 사용되는 번역어임을 명시한다.