사다리꼴 공식(영어: trapezoidal rule)은 수치 해석(numerical analysis) 분야에서 정적분(definite integral)을 근사적으로 계산하는 방법 가운데 하나이다. 이 방법은 적분이 나타내는 곡선 아래의 넓이를 여러 개의 사다리꼴(trapezoid)로 분할하여, 각 사다리꼴의 넓이를 합산함으로써 전체 적분값을 근사한다.
수학적으로, 닫힌구간 $[t_0, t_N]$ 위의 적분 가능 함수 $f$에 대하여, 분할점 $t_0 \le t_1 \le \dots \le t_{N-1} \le t_N$이 주어졌을 때, 적분 $\displaystyle F = \int_{t_0}^{t_N} f(x),dx$의 사다리꼴 공식 근사 $\tilde{F}$는 다음과 같이 정의된다.
$$ \tilde{F} = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{(t_{i+1} - t_i)(f(t_{i+1}) + f(t_i))}{2} $$
특히 $N=1$인 경우(단일 구간)에는 다음 형태가 된다.
$$ \tilde{F} = \frac{(t_1 - t_0)(f(t_1) + f(t_0))}{2} $$
사다리꼴 공식은 뉴턴-코츠 공식(Newton–Cotes formulas)이라는 적분 근사법들의 족(family)에 속하는 특수한 경우이며, 매끄러운 함수(smooth function)에 대해서는 유사한 계산 복잡도를 가지는 심프슨 공식(Simpson's rule)보다 일반적으로 덜 정확한 것으로 알려져 있다. 반면 주기 함수(periodic function)를 적분할 때는 사다리꼴 공식이 특별히 더 정확한 결과를 제공하는데, 이는 오일러-매클로린 합산식(Euler–Maclaurin formula)으로 설명할 수 있다.
함수 $f$가 2차 도함수를 가지며 연속인 $C^2$ 함수일 때, 사다리꼴 공식의 오차($\tilde{F} - F$)는 다음과 같이 표현된다. 어떤 $\xi \in [t_0, t_N]$가 존재하여
$$ \tilde{F} - F = \frac{1}{12} f''(\xi) \sum_{i=0}^{N-1} (t_{i+1} - t_i)^3 $$
이 성립한다. 분할점들이 동일 간격(산술 수열)일 경우 구간의 개수 $N$이 증가함에 따라 오차는 $N^{-2}$의 속도로 0에 수렴한다.
한편, 초등 기하학에서 사다리꼴 넓이 공식은 한 쌍의 대변이 평행한 사각형인 사다리꼴의 넓이를 구하는 방법으로, (윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2로 나타낸다. 이 공식은 합동인 두 개의 사다리꼴을 이어 붙이면 평행사변형이 된다는 원리를 통해 유도된다.
사다리꼴 공식은 공학, 물리학, 경제학 등 정적분의 근삿값이 필요한 다양한 분야에서 활용되며, 수치적분의 가장 기본적인 방법 중 하나로 자리잡고 있다.
