비표준 위치 기수법
비표준 위치 기수법(非標準位置記數法, Non-standard positional numeral systems)은 표준적인 위치 기수법의 조건을 완전히 따르지 않는 위치 기수법의 변형들을 통틀어 이르는 말이다.
표준 위치 기수법의 조건
표준 위치 기수법은 다음 조건을 만족한다:
- 밑(base) $ b $는 양의 정수이다.
- $ b $개의 서로 다른 숫자(numeral)를 사용하여 모든 음이 아닌 정수를 표현한다.
- 숫자 집합은 0, 1, 2, ..., $ b-1 $의 값을 가진다.
- 각 자리의 값은 위치에 따라 가중치(밑의 거듭제곱)가 곱해진다.
이 조건에서 하나라도 벗어나면 비표준 위치 기수법으로 분류된다.
주요 유형
1. 전단사 기수법 (Bijective numeration)
0을 사용하지 않고 1부터 $ b $까지의 숫자를 사용하는 기수법이다. 빈 문자열로 0을 표현한다.
- 일진법(단항 기수법, Unary): 밑이 1인 전단사 기수법. 하나의 숫자(보통 1)만을 반복하여 모든 양의 정수를 표현한다. 자릿값 개념이 없어 위치 기수법으로 보기 어렵다는 주장도 있다.
2. 부호 자릿수 표현 (Signed-digit representation)
밑은 양의 정수이지만, 자릿수에 음수를 허용하는 기수법이다. 부호 없이 모든 정수를 표현할 수 있다.
- 균형 3진법 (Balanced ternary): 밑이 3이고, 숫자로 -1, 0, +1을 사용한다. (표준 3진법은 0, 1, 2를 사용)
3. 그레이 코드 (Gray code)
반사 이진 코드라고도 하며, 연속된 숫자가 단 한 비트만 다른 이진 표현 방식이다.
4. 양의 정수가 아닌 밑을 사용하는 기수법
음수 밑 (Negative base)
밑이 음의 정수인 기수법이다. 예: 음이진법(negabinary, 밑 -2), 음삼진법(negaternary, 밑 -3), 음십진법(negadecimal, 밑 -10). 모든 정수를 부호 없이 표현할 수 있다.
허수 밑 (Complex base)
밑이 순허수 $ bi $인 기수법. 예: $ 2i $를 밑으로 하는 기수법.
정수가 아닌 밑 (Non-integer base)
밑이 정수가 아닌 실수인 기수법. 대표적으로 황금비 진법(Golden ratio base, Phinary)이 있으며, 밑이 황금비 $ \phi $이고 숫자 0과 1을 사용한다.
5. 혼합 밑 기수법 (Mixed radix / Mixed base)
각 자리의 가중치가 기하급수적(1, $ b $, $ b^2 $, ...)이 아닌 기수법.
- 시간 표기: 시(24진법 또는 12진법), 분·초(60진법)의 혼합
- 각도 표기: 도·분·초 체계
- 마야 숫자: 20진법을 기본으로 하되 달력에서는 18진법 요소가 섞임
- 팩토리얼 진법 (Factorial number system): 각 자리의 가중치가 팩토리얼 수열을 따름
- 피보나치 코딩 (Fibonacci coding): 피보나치 수열을 가중치로 사용
6. 비대칭 기수법 (Asymmetric numeral systems, ANS)
컴퓨터 과학에서 사용되는 기수법으로, 각 자릿수가 서로 다른 밑(보통 정수가 아님)을 가질 수 있으며, 비균일 확률 분포에 맞춰 정보를 효율적으로 인코딩한다. Shannon 엔트로피에 근접한 압축률을 제공한다.
역사적 사례
- 바빌로니아의 쐐기 숫자: 60진법과 단항 요소가 혼합된 비표준 위치 기수법으로 볼 수 있다.
- 동아시아의 산가지: 혼합된 밑을 가진 비표준 위치 기수법으로 분류된다.
- 시토회 숫자(Cistercian numerals): 십진법 위치 기수법이지만 자리가 가로 정렬이 아닌 세로 막대의 네 방향에 배치된다.
참고
비표준 위치 기수법의 대부분은 일반적인 사용을 위해 고안된 것이 아니라, 수학자나 공학자가 특수한 학술적 또는 기술적 목적으로 개발한 것이다.
