수학에서 비에트 공식(Viète's formula)은 16세기 프랑스의 수학자 프랑수아 비에트(François Viète, 1540–1603)의 이름을 따서 명명된 공식으로, 서로 다른 두 가지 의미로 사용된다.
1. 원주율에 대한 비에트 공식
1593년 프랑수아 비에트가 저서 《Variorum de rebus mathematicis responsorum, liber VIII》에서 발표한 공식으로, 원주율 π를 무한곱(infinite product)을 이용하여 근사한 식이다. 이는 원주율 π를 닫힌 해석적 형태로 표현한 역사상 최초의 무한곱 공식으로 알려져 있다. 공식의 형태는 다음과 같다.
$$ \frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots $$
즉, 2/π는 1/2의 제곱근으로부터 시작하여 중첩된 제곱근의 형태로 구성된 무한곱으로 표현된다. 이 공식은 삼각함수 항등식과 관련되어 있으며, 역사적으로 원주율 계산에 기여하였다.
2. 근과 계수의 관계 (비에트 정리)
같은 맥락에서, 비에트 정리(Viète's theorem) 또는 근과 계수와의 관계라고 불리는 공식도 존재한다. 이는 다항 방정식의 근(root)과 계수(coefficient) 사이의 관계를 나타내는 일련의 공식이다. n차 다항식
$$ p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \quad (a_n eq 0) $$
의 n개의 근(중복도 포함)을 $x_1, x_2, \dots, x_n$이라 할 때, 다음 관계가 성립한다.
$$ \begin{aligned} x_1 + x_2 + \cdots + x_n &= -\frac{a_{n-1}}{a_n} \ x_1 x_2 + x_1 x_3 + \cdots + x_{n-1} x_n &= \frac{a_{n-2}}{a_n} \ &\vdots \ x_1 x_2 \cdots x_n &= (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \end{aligned} $$
즉, 근들의 기본 대칭 다항식의 값이 다항식의 계수비로 표현된다. 특히 이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$의 경우, 두 근의 합은 $-b/a$, 두 근의 곱은 $c/a$가 되어 중등교육과정에서도 널리 다루어지는 내용이다. 비에트는 양의 근에 대해서만 이 관계를 증명하였으며, 이후 알베르 지라르(Albert Girard)가 일반적인 경우로 확장하였다.
참고 문헌: Beckmann, Petr (1971). A history of π (2nd ed.). Boulder, CO: The Golem Press. pp. 94–95.
