기하학에서 브라마굽타 공식(Brahmagupta's formula)은 원에 내접하는 사각형(원에 내접하는 사각형, 즉 원주 위의 네 점을 꼭짓점으로 하는 사각형)의 넓이를 네 변의 길이만으로 구하는 공식이다. 7세기 인도의 수학자이자 천문학자인 브라마굽타(Brahmagupta, 598년~668년)가 그의 저서 《브라마스푸타싯단타》(Brāhmasphuṭasiddhānta)에서 제시하였다. 다만 브라마굽타는 이 공식에 대한 증명을 제시하지 않았으며, 사각형이 원에 내접해야 한다는 조건을 명시하지도 않은 것으로 알려져 있다.
정의
내접 사각형 ABCD의 네 변의 길이를 각각 AB = a, BC = b, CD = c, DA = d라고 할 때, 이 사각형의 넓이 S는 다음과 같다.
$$ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} $$
여기서 $ s = \dfrac{a+b+c+d}{2} $는 반둘레(semiperimeter)이다.
특수한 경우
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헤론의 공식(Heron's formula): 브라마굽타 공식에서 한 변의 길이를 0(d=0)으로 두면 삼각형의 넓이를 구하는 헤론의 공식 $ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} $이 된다. 모든 삼각형은 항상 외접원을 가지므로, 헤론의 공식은 브라마굽타 공식의 특수한 경우로 볼 수 있다.
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이중중심 사각형(bicentric quadrilateral): 외접원과 내접원을 모두 가지는 사각형의 경우, a + c = b + d = s가 성립하므로 넓이는 $ S = \sqrt{abcd} $로 간단히 표현된다.
일반화
브라마굽타 공식은 독일의 수학자 카를 안톤 브레치나이더(Carl Anton Bretschneider)에 의해 임의의 사각형으로 일반화되었다. 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)은 다음과 같다.
$$ S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2\frac{A+C}{2}} $$
여기서 A와 C는 사각형의 마주보는 두 각이다. 원에 내접하는 사각형에서는 A + C = 180°이므로 $\cos\frac{A+C}{2} = 0$이 되어 브라마굽타 공식으로 환원된다. 즉, 브라마굽타 공식은 브레치나이더 공식의 특수한 경우이다.
의의
브라마굽타 공식은 주어진 네 변의 길이만으로 원에 내접하는 사각형의 넓이를 유일하게 결정할 수 있음을 보여준다. 이는 삼각형의 넓이를 세 변의 길이로 구하는 헤론의 공식을 사각형으로 확장한 것으로, 평면기하학에서 중요한 위치를 차지한다.
