부냐콥스키 추측(Bunyakovsky conjecture)은 정수론(수론) 분야의 미해결 문제로, 정수 계수를 가진 기약다항식이 자연수에 대하여 취하는 값들 가운데 무한히 많은 소수가 포함된다는 내용의 추측이다. 1857년 러시아의 수학자 빅토르 부냐콥스키(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804~1889)가 처음 제시하였다.
정의
1보다 높은 차수의 정수계수 기약다항식 p(x)에 대하여, 자연수 집합 N의 상(image)인 p(N)을 고려할 때, 부냐콥스키 추측은 다음 두 가지 가운데 하나가 성립한다고 주장한다.
- p(N)의 모든 원소들의 최대공약수가 1이 아니다.
- p(N)은 무한히 많은 소수를 포함한다.
다시 말해, p(N)이 유한한 개수의 소수만을 포함하면서도 그 값들의 최대공약수가 1이 되는 경우는 불가능하다는 내용이다. 이 추측은 디리클레 등차수열 정리의 일반화로도 볼 수 있다.
필요 조건
부냐콥스키 추측이 성립하기 위해서는 다항식이 다음과 같은 세 가지 조건을 충족해야 한다는 점이 알려져 있다.
- 최고차항의 계수가 양수여야 한다.
- 다항식이 기약(旣約, irreducible)이어야 한다. 즉, 더 낮은 차수의 정수계수 다항식들의 곱으로 분해되지 않아야 한다.
- 다항식이 취하는 모든 값들의 최대공약수가 1이어야 한다. 즉, p(1), p(2), p(3), …의 최대공약수가 1이어야 한다.
세 번째 조건이 필요한 이유는, 예를 들어 p(x) = x² + x + 4의 경우 다항식은 실수 및 정수 상에서 기약이지만 임의의 자연수를 대입하면 그 값이 항상 짝수가 되어 2 이상의 최대공약수를 가지기 때문이다. 이러한 경우에는 무한히 많은 소수를 생성할 수 없다.
예시
x² + 1 형태의 다항식이 부냐콥스키 추측의 대표적인 예로 자주 언급된다. 이 다항식에 자연수를 대입하면 2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297 등과 같은 소수들이 생성되는 것으로 관찰된다.
연구 현황
부냐콥스키 추측은 1차보다 높은 차수의 다항식에 대해서는 아직 어느 경우에도 증명되지 않은 미해결 문제이다. 다만 수치적 증거는 추측의 타당성을 뒷받침하는 것으로 알려져 있다. 이 추측은 신첼의 가설 H(Schinzel's hypothesis H)의 특수한 경우로, 정수론에서 가장 유명한 미해결 문제 가운데 하나로 꼽힌다.
관련 개념
부냐콥스키 추측은 콘의 기약성 기준, 신첼의 가설 H, 베이트먼-혼 추측(Bateman–Horn conjecture), 하디-리틀우드 추측 F, 울람 나선 등과 관련이 깊은 개념이다.
