볼테라 급수(Volterra series)는 비선형 동적 시스템의 입출력 관계를 표현하기 위한 수학적 모델로, 테일러 급수(Taylor series)의 개념을 함수 공간으로 확장한 것이다. 테일러 급수가 특정 시점의 입력값에만 의존하여 시스템의 출력을 근사하는 반면, 볼테라 급수는 시스템의 출력이 모든 과거 시점의 입력값에 의존하는 '메모리' 효과를 포착할 수 있다는 점에서 차별화된다. 이는 선형 시불변 시스템의 컨볼루션 적분 표현을 비선형 영역으로 일반화한 것으로 볼 수 있다.
역사
볼테라 급수는 이탈리아의 수학자 비토 볼테라(Vito Volterra, 1860~1940)가 1887년부터 발표한 연구에서 비롯된 해석적 범함수론(analytic functional theory)의 현대적 버전이다. 1920년대에 노르베르트 위너(Norbert Wiener)가 볼테라의 제자 폴 레비(Paul Lévy)와의 접촉을 통해 이 이론에 관심을 가지게 되었고, 자신의 브라운 운동 이론을 볼테라 해석적 범함수의 적분에 적용하였다. 볼테라 급수가 시스템 해석에 본격적으로 사용된 것은 1942년, 당시 MIT 수학 교수였던 위너가 작성한 제한된 전시 보고서에서 비롯되었다. 위너는 이 급수를 사용하여 비선형 수신기 회로에서 레이더 잡음이 미치는 영향을 근사적으로 분석하였다. 이 보고서는 전쟁 후 공개되었으며, 비선형 시스템의 일반적인 분석 방법으로서 볼테라 급수는 1957년경 이후 MIT 등을 중심으로 한 일련의 보고서 결과로 사용되기 시작하였다. '볼테라 급수'라는 명칭은 그로부터 수년 후에 정착되었다.
수학적 정의
연속시간 입력 x(t)와 출력 y(t)를 갖는 연속 시간 시불변 시스템은 볼테라 급수로 다음과 같이 전개된다.
y(t) = h₀ + ∑_{n=1}^{N} ∫_{a}^{b} ⋯ ∫_{a}^{b} h_n(τ₁, …, τ_n) ∏_{j=1}^{n} x(t - τ_j) dτ_j
여기서 h₀는 상수항(보통 0으로 간주됨)이며, 함수 h_n(τ₁, …, τ_n)을 n차 볼테라 커널(Volterra kernel)이라고 한다. 이는 시스템의 고차 임펄스 응답으로 볼 수 있다. 표현의 유일성을 위해 커널은 n개 변수 τ에 대해 대칭이어야 하며, 대칭이 아닌 경우 n!개 순열에 대한 평균인 대칭화된 커널로 대체될 수 있다. N이 유한하면 급수가 절단(truncated)되었다고 하며, a, b, N이 모두 유한하면 이중 유한(double finite)이라고 한다.
인과성 조건: 물리적으로 실현 가능한 시스템에서 출력은 입력의 과거 값에만 의존할 수 있으므로, 커널 h_n(t₁, t₂, …, t_n)은 변수 t₁, t₂, …, t_n 중 하나라도 음수이면 0이 된다.
프레셰 근사 정리(Fréchet's approximation theorem): 특정 일반 조건을 만족하는 시불변 범함수 관계는 충분히 높은 유한 차수의 볼테라 급수에 의해 임의의 정밀도로 균등하게 근사될 수 있다. 이 정리는 모리스 프레셰(Maurice Fréchet)에 기인한다. 근사가 성립하는 허용 입력 함수 집합은 컴팩트(compact)해야 하며, 보통 동등연속(equicontinuous)이고 균등 유계(uniformly bounded)인 함수 집합으로 간주된다. 그러나 이 정리는 좋은 근사를 위해 몇 개의 항이 필요한지에 대해서는 알려주지 않는다.
이산시간 이산시간의 경우 적분이 합으로 대체된다.
y(n) = h₀ + ∑_{p=1}^{P} ∑_{τ₁=a}^{b} ⋯ ∑_{τ_p=a}^{b} h_p(τ₁, …, τ_p) ∏_{j=1}^{p} x(n - τ_j)
여기서 h_p(τ₁, …, τ_p)를 이산시간 볼테라 커널이라고 한다.
볼테라 커널 추정 방법
볼테라 급수의 기저 범함수들은 서로 상관관계가 있기 때문에 계수를 개별적으로 추정하는 것은 복잡하다. 따라서 일반적으로 직교화된 급수(예: 위너 급수, Wiener series)의 계수를 먼저 추정한 후 원래 볼테라 급수의 계수를 재계산하는 방식이 사용된다. 주요 추정 방법으로는 다음과 같은 것들이 있다.
- 교차상관법(Crosscorrelation method): Lee와 Schetzen이 개발한 방법으로, 가우시안 백색 잡음 입력에 대해 위너 커널을 교차상관으로 직접 측정한다.
- 다중분산법(Multiple-variance method): 서로 다른 분산의 입력을 사용하여 저차 및 고차 커널을 각각 최적의 조건에서 추정하는 방법이다.
- 피드포워드 신경망(Feedforward network): Wray와 Green(1994)이 개발한 방법으로, 2층 신경망이 볼테라 급수와 계산적으로 동등함을 이용하여 학습된 가중치로부터 커널을 추출한다.
- 직교 알고리즘(Exact orthogonal algorithm): Korenberg가 고안한 방법으로, 실제 입력에 대해 경험적으로 직교화를 수행한다.
- 선형 회귀(Linear regression): 비선형 기저 범함수의 선형 결합으로서 볼테라 급수를 처리하는 표준 통계적 방법이다.
- 커널법(Kernel method): Franz와 Schölkopf가 통계적 학습 이론에 기반하여 개발한 방법이다.
- 미분 샘플링(Differential sampling): van Hemmen 등이 개발한 방법으로, 디랙 델타 함수를 사용하여 볼테라 계수를 샘플링한다.
응용 분야
볼테라 급수는 다양한 공학 및 과학 분야에서 비선형 시스템의 모델링과 해석에 널리 사용된다.
- 의공학 및 신경과학: 생물학적 시스템의 비선형 동특성 모델링, 신경 신호 처리 등에 적용된다.
- 전기전자공학: 전력 증폭기, 주파수 혼합기 등에서 상호변조 왜곡(intermodulation distortion)을 모델링하는 데 사용된다.
- 기계공학: 비선형 진동 해석, 구조물의 손상 탐지 등에 활용된다.
- 항공탄성학(aeroelasticity): 비선형 공력 탄성 시스템의 모델링에 적용된다.
- 제어공학: 비선형 시스템의 식별 및 제어에 사용된다.
- 오디오 신호 처리: 비선형 음향 시스템의 모델링 및 시뮬레이션에 활용된다.
위너 급수와의 관계
볼테라 급수와 위너 급수(Wiener series)는 밀접한 관련이 있다. 위너 급수는 볼테라 급수의 기저 범함수들을 위너 과정(Wiener process, 브라운 운동) 입력에 대해 직교화한 것이다. 볼테라 급수에서 서로 다른 차수의 범함수 출력은 일반적으로 상관관계가 있지만, 위너 급수에서는 서로 직교하므로 각 커널을 독립적으로 추정할 수 있다는 장점이 있다. 볼테라 급수는 균등 수렴(uniform convergence)을 요구하는 반면, 위너 급수는 평균제곱 수렴(mean square convergence)을 요구하므로 위너 급수로 표현 가능한 시스템의 클래스가 더 넓다.
수렴성
볼테라 급수의 수렴은 입력 신호의 크기에 의존한다. 유계 입력-유계 출력(BIBO) 안정성 관점에서, 볼테라 급수 연산자의 수렴 반경 ρ는 커널의 L¹ 노름으로 정의되는 이득 경계 함수(gain bound function)에 의해 결정된다. ||u||_∞ < ρ인 입력에 대해 급수는 절대 수렴하며, 절단 오차에 대한 상한도 주어질 수 있다.
