본질적 단사 사상

본질적 단사 사상(本質的單射寫像, 영어: essential monomorphism)은 범주론에서 정의되는 단사 사상의 한 종류로, 동형 사상에 매우 가까운 성질을 지닌 단사 사상이다. 이와 합성하는 다른 사상이 단사 사상인지 여부에 영향을 끼치지 않는 단사 사상으로 특징지어진다. 이에 대한 쌍대 개념으로 잉여적 전사 사상(superfluous epimorphism)이 있다.

정의

범주 C의 단사 사상 f: X → X̃가 다음 조건을 만족시킬 때, f를 본질적 단사 사상이라고 한다.

• 임의의 사상 g: X̃ → Y에 대하여, 만약 g ∘ f가 단사 사상이라면 g 역시 단사 사상이다.

즉, 본질적 단사 사상 뒤에 합성된 사상이 전체 합성의 단사성을 보존하기 위해서는 그 사상 자체가 단사 사상이어야 한다는 조건을 의미한다. 이는 본질적 단사 사상이 "이미 최대한으로 확대된" 부분 구조임을 나타내는 성질로 해석될 수 있다.

마찬가지로, 범주 C의 전사 사상 f: X̃ → X가 다음 조건을 만족시킬 때, f를 잉여적 전사 사상이라고 한다.

• 임의의 사상 g: Y → X̃에 대하여, 만약 f ∘ g가 전사 사상이라면 g 역시 전사 사상이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서 단사 사상의 모임 또는 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상의 모임 H로 바꾸어 H-본질적 사상 및 H-잉여적 사상을 정의할 수 있다.

예시

임의의 범주에서 동형 사상은 항상 본질적 단사 사상이자 잉여적 전사 사상이다.

• 집합의 범주: 집합과 함수의 범주 Set에서, 본질적 단사 사상 및 잉여적 전사 사상은 전단사 함수뿐이다.

• 가군의 범주: 환 R 위의 왼쪽 가군 M̃의 부분 가군 M에 대하여, 포함 사상 M → M̃이 왼쪽 가군 범주 _RMod의 본질적 단사 사상이라는 것과 다음 조건이 서로 동치이다.

  • M̃의 임의의 부분 가군 N에 대하여, M ∩ N = 0이라면 N = 0이다.

  이 경우 M을 M̃의 본질적 부분 가군(essential submodule), M̃을 M의 본질적 확대(essential extension)라고 한다. 본질적 부분 가군은 흔히 ⊆_e로 표기하며, 잉여적 부분 가군은 ⊆_s로 표기한다. 특히 _RR 자체의 본질적·잉여적 부분 가군을 본질적·잉여적 왼쪽 아이디얼이라고 한다.

관련 개념

가군 범주에서 본질적 단사 사상의 상은 공동변역의 본질적 부분 가군이다. 또한 어떤 대상 A의 단사 포락(injective hull)은 A에서 단사 대상으로 가는 본질적 단사 사상으로 정의된다. 본질적 단사 사상은 환론 및 호몰로지 대수에서 중요한 역할을 하며, 주입 포락(injective envelope)의 존재와 성질과 깊이 연관되어 있다.