복소수(複素數, complex number)는 실수부와 허수부로 이루어진 수를 말한다. 일반적으로 $a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$) 형태로 표현하며, 여기서 $a$는 실수부(real part), $b$는 허수부(imaginary part), $i$는 허수 단위(imaginary unit)로 $i^2 = -1$을 만족한다.
정의와 표현 복소수의 집합은 $\mathbb{C}$로 표기하며, $\mathbb{C} = {a + bi \mid a, b \in \mathbb{R}}$로 정의된다. 실수 $a$는 $a + 0i$로, 순허수 $bi$는 $0 + bi$로 볼 수 있어 실수 집합 $\mathbb{R}$은 복소수 집합 $\mathbb{C}$의 부분집합이 된다.
복소수는 데카르트 좌표계 위의 한 점 $(a, b)$ 또는 벡터로 대응시킬 수 있으며, 이를 복소평면(가우스 평면) 위의 점으로 기하학적으로 해석한다. 이때 가로축은 실수축, 세로축은 허수축이다.
연산 두 복소수 $z_1 = a + bi$, $z_2 = c + di$에 대한 사칙연산은 다음과 같다.
- 덧셈: $z_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i$
- 뺄셈: $z_1 - z_2 = (a-c) + (b-d)i$
- 곱셈: $z_1 z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$
- 나눗셈: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$ ($z_2 eq 0$)
공액복소수와 절댓값 복소수 $z = a + bi$에 대해 공액복소수(complex conjugate)는 $\bar{z} = a - bi$로 정의된다. 절댓값(모듈러스, modulus)은 $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$로, 복소평면상에서 원점으로부터의 거리를 의미한다. $z \bar{z} = |z|^2$ 관계가 성립한다.
극형식과 오일러 공식 복소수는 극좌표를 이용해 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$로 표현할 수 있다. 여기서 $r = |z|$, $\theta = \arg(z)$(편각)이다. 오일러 공식 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$에 의해 지수형식 $z = re^{i\theta}$로도 쓴다. 드무아브르 공식 $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$는 복소수의 거듭제곱과 근을 구하는 데 쓰인다.
역사와 응용 16세기 카르다노(G. Cardano)의 삼차방정식 풀이 과정에서 처음 등장했으나, 당시에는 '허수'라 불리며 실재성이 부정되기도 했다. 18세기 오일러(L. Euler)가 $i$ 기호를 도입하고, 19세기 가우스(C.F. Gauss)가 복소평면상의 기하학적 표현을 정립하며 수학적으로 완전한 체계를 갖추게 되었다.
현대에는 대수학의 기본정리(모든 차수 $n$ 복소계수 다항방정식은 $\mathbb{C}$에서 근을 가짐)의 기반이 되며, 전기공학(교류회로 해석, 임피던스), 양자역학(파동함수), 신호처리(푸리에 변환), 제어이론, 유체역학 등 자연과학과 공학 전반에서 필수적인 도구로 사용된다.
