벨의 부등식(Bell's inequality)은 1964년 북아일랜드의 물리학자 존 스튜어트 벨(John Stewart Bell)이 발표한 부등식으로, 양자역학의 기초와 관련된 중요한 정리이다. 벨은 이 부등식을 통해 국소적 숨은 변수 이론(local hidden-variable theory)이 양자역학의 통계적 예측과 양립할 수 없음을 수학적으로 증명하였다. 이 결과는 벨 정리(Bell's theorem)로도 불리며, 물리학과 과학 철학 전반에 걸쳐 깊은 영향을 미쳤다.
벨의 부등식은 아인슈타인, 포돌스키, 로젠이 1935년 제기한 EPR 역설(EPR paradox)에서 비롯되었다. EPR은 양자역학이 불완전한 이론이며, 이를 보완하기 위해 숨은 변수가 존재해야 한다고 주장하였다. 이에 대해 벨은 국소성(locality)을 가정할 경우, 두 입자 간의 측정 결과 상관관계가 특정한 부등식을 만족해야 함을 보였다. 벨이 유도한 원래 형태의 부등식은 다음과 같다.
1 + C(b, c) ≥ |C(a, b) − C(a, c)|
여기서 C는 상관관계(correlation)를 나타내며, a, b, c는 서로 다른 측정 방향을 의미한다. 이 부등식은 고전적인 확률론과 국소성의 가정 하에서는 항상 성립하는 것으로 보이지만, 양자역학적 계산에 따르면 특정 조건에서 이 부등식이 위반된다.
이후 클라우저-호른-시모니-홀트(CHSH) 부등식 등 다양한 형태의 벨 유형 부등식이 개발되었다. CHSH 부등식은 실험적으로 검증하기 더 용이한 형태로, 다음과 같이 표현된다.
|⟨A₀B₀⟩ + ⟨A₀B₁⟩ + ⟨A₁B₀⟩ − ⟨A₁B₁⟩| ≤ 2
양자역학은 이 값이 2√2(약 2.828)까지 도달할 수 있다고 예측하며, 이는 치렐슨 한계(Tsirelson bound)로 알려져 있다.
1972년 존 클라우저(John Clauser)와 스튜어트 프리드먼(Stuart Freedman)이 최초의 벨 부등식 실험을 수행하였고, 1982년 알랭 아스페(Alain Aspect)와 동료들이 더 정교한 실험을 통해 양자역학적 예측과 일치하는 결과를 얻었다. 이후 수많은 벨 테스트(Bell test) 실험이 수행되었으며, 2015년에는 검출 허점(detection loophole)과 국소성 허점(locality loophole)을 동시에 해결한 실험이 성공적으로 이루어졌다. 이러한 공로로 클라우저, 아스페, 그리고 안톤 차일링거(Anton Zeilinger)는 2022년 노벨 물리학상을 수상하였다.
벨의 부등식이 위반된다는 실험적 증거는 자연이 국소적 실재론(local realism)으로 설명될 수 없음을 시사한다. 이에 대한 해석은 다양하여, 코펜하겐 해석은 반사실적 확정성(counterfactual definiteness)을 포기하는 방향으로, 보옴의 해석은 비국소적 숨은 변수를 도입하는 방향으로, 다세계 해석은 측정 결과의 유일성을 포기하는 방향으로 각각 이해한다.
