벡터자기회귀모형(Vector Autoregressive Model, 약칭 VAR)은 시간의 흐름에 따라 변화하는 여러 변수 간의 관계를 포착하기 위해 사용되는 통계적·계량경제학적 모형이다. 이 모형은 단일 변수(일변량) 자기회귀 모형(AR)을 다변수 시계열로 확장한 것으로, 여러 시계열 변수를 동시에 분석할 수 있도록 설계되었다.
VAR 모형에서는 시스템 내 모든 변수를 대칭적으로 취급하며, 각 변수는 자신의 과거 값뿐만 아니라 모형에 포함된 다른 모든 변수의 과거 값(시차, lag)에 의존하여 설명된다. 예를 들어, 두 변수 $y_1$과 $y_2$를 포함하는 1차 VAR 모형(VAR(1))은 다음과 같은 형태로 표현된다.
$$ \begin{align*} y_{1,t} &= c_1 + \phi_{11,1} y_{1,t-1} + \phi_{12,1} y_{2,t-1} + e_{1,t} \ y_{2,t} &= c_2 + \phi_{21,1} y_{1,t-1} + \phi_{22,1} y_{2,t-1} + e_{2,t} \end{align*} $$
여기서 $c$는 상수항, $\phi$는 추정할 계수, $e$는 오차항(백색잡음)이다. 일반적으로 $p$차 VAR 모형은 VAR($p$)로 표기하며, $p$개의 시차를 포함한다.
VAR 모형은 1980년 크리스토퍼 심스(Christopher Sims)에 의해 거시경제학 분야에 본격적으로 도입되었다. 심스는 기존의 대규모 연립방정식 구조모형이 지나치게 많은 식별 제약을 가진다고 비판하며, VAR 모형이 경제이론의 제약 없이 데이터 자체로부터 변수 간 관계를 추정할 수 있는 대안이라고 주장하였다.
VAR 모형의 주요 특징 및 활용 분야는 다음과 같다.
첫째, 충격반응분석(Impulse Response Analysis)을 통해 특정 변수에 가해진 일시적 충격이 다른 변수들에 시간에 따라 어떻게 전달되는지를 동태적으로 분석할 수 있다.
둘째, 예측오차 분산분해(Forecast Error Variance Decomposition)를 통해 각 변수의 변동이 전체 예측 오차 분산에서 차지하는 상대적 기여도를 측정할 수 있다.
셋째, 그랜저 인과관계 검정(Granger Causality Test)을 통해 한 변수가 다른 변수의 예측에 유용한 정보를 제공하는지 여부를 판단할 수 있다.
넷째, 예측(Forecasting)에 활용된다. VAR 모형은 시스템 내 모든 변수에 대한 다변량 예측을 동시에 제공한다.
VAR 모형을 구축할 때는 두 가지 주요 결정이 필요하다. 첫째는 모형에 포함할 변수의 개수($K$)이며, 둘째는 시차의 길이($p$)이다. 추정해야 할 계수의 총 개수는 $K + pK^2$개이므로, 변수와 시차가 많아질수록 추정해야 할 모수가 급격히 증가한다. 시차의 선택에는 일반적으로 AIC(아카이케 정보 기준)나 BIC(베이즈 정보 기준)와 같은 정보 기준이 사용된다.
VAR 모형은 경제학, 금융학, 자연과학, 보건학 등 다양한 분야에서 시계열 자료 분석과 예측을 위해 널리 사용되고 있다. 다만, 이론적 구조 없이 데이터에만 의존한다는 점, 추정된 계수의 해석이 어렵다는 점, 사용된 변수와 표본 기간 및 시차 길이에 따라 결과가 달라질 수 있다는 한계도 지닌다.
