벡터 함수(vector function, vector-valued function)는 정의역의 각 원소에 벡터를 대응시키는 함수이다. 하나 또는 여러 개의 실수 변수를 입력받아 벡터를 출력값으로 반환한다.
정의
실수 구간 $I$에서 정의된 벡터 함수는 일반적으로 다음과 같이 표현된다.
$$ \mathbf{r}(t) = \langle f(t),, g(t),, h(t) \rangle $$
여기서 $f(t), g(t), h(t)$는 성분 함수(component function)라 불리는 실함수이다. 2차원 공간에서는 두 개의 성분, 3차원 공간에서는 세 개의 성분으로 구성된다.
분류
- 1변수 벡터 함수: $\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t) \rangle$ 또는 $\mathbf{r}(t) = \langle f(t), g(t), h(t) \rangle$ 형태. 매개변수 $t$가 변함에 따라 벡터의 끝점이 그리는 궤적은 공간곡선(space curve)이 된다.
- 다변수 벡터 함수: $\mathbf{v}(x,y,z) = [v_1(x,y,z),, v_2(x,y,z),, v_3(x,y,z)]$ 형태. 정의역의 각 점에 벡터를 할당하며, 이를 벡터장(vector field)이라고 부른다.
미분과 적분
벡터 함수의 도함수는 각 성분 함수를 각각 미분하여 구한다.
$$ \mathbf{r}'(t) = \langle f'(t),, g'(t),, h'(t) \rangle $$
기하학적으로 $\mathbf{r}'(t)$는 곡선의 접선벡터(tangent vector)를 나타내며, $\mathbf{r}'(t) eq \mathbf{0}$일 때 그 방향은 곡선의 진행 방향과 일치한다. 정적분과 부정적분 역시 각 성분별로 계산한다.
주요 예시
- 직선: $\mathbf{r}(t) = \langle x_0, y_0, z_0 \rangle + t\langle a, b, c \rangle$
- 원: $\mathbf{r}(t) = \langle R\cos t,, R\sin t,, c \rangle$ (일정한 높이 $z=c$에서의 원)
- 나선(helix): $\mathbf{r}(t) = \langle R\cos t,, R\sin t,, t \rangle$
활용
벡터 함수는 물리학에서 속도·가속도 벡터, 전자기학에서 전기장·자기장, 컴퓨터 그래픽스에서 곡선·곡면 표현, 공학에서 운동 궤적 해석 등에 널리 사용된다.
