정의
벡터 함수는 정의역의 각 점을 벡터값으로 대응시키는 함수를 말한다. 일반적으로 실수값을 갖는 매개변수 $t$에 대해 $\mathbf{r}(t) = \langle f_1(t), f_2(t), \dots , f_n(t) \rangle$와 같이 표현되며, 여기서 $f_i(t)$는 실수값을 반환하는 스칼라 함수이다. 즉, 입력이 실수(또는 다른 차원의 변수)이고 출력이 $n$차원 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$의 벡터인 함수이다.
개요
벡터 함수는 미적분학, 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 곡선·곡면의 매개변수화, 입자 궤적 기술, 전자기장·속도·가속도와 같은 물리량의 표현 등에 활용된다. 한 변수에 대한 3차원 벡터 함수 $\mathbf{r}(t) = \langle x(t), y(t), z(t) \rangle$는 흔히 공간 곡선의 파라메트릭 방정식으로 사용되며, 그 미분·적분 연산은 곡선의 접벡터·아크길이·곡률 등을 구하는 데 필수적이다. 다변수 경우에도 $\mathbf{F}(u,v) = \langle f_1(u,v), f_2(u,v), f_3(u,v) \rangle$와 같이 매개변수면을 정의한다.
어원/유래
‘벡터(vector)’는 라틴어 vector(‘운반자, 운반하는 사람’)에서 유래했으며, 19세기 말 수학·물리학에서 방향과 크기를 가진 양을 의미하는 용어로 정착하였다. ‘함수(function)’는 라틴어 functio(‘행위, 작용’)에서 파생된 것으로, 17~18세기 유럽에서 수학적 관계를 나타내는 개념으로 사용되었다. ‘벡터 함수’라는 복합어는 20세기 초 미분기하학·벡터 해석학 분야에서 벡터값을 반환하는 함수를 구분하기 위해 도입된 것으로, 정확한 최초 사용 시점은 문헌에 따라 차이가 있으나, 현대 수학 교과서에서는 일반적으로 20세기 중반 이후부터 널리 쓰인다.
특징
- 출력 차원: 스칼라 함수와 달리 출력이 다차원 벡터이며, 차원 수는 정의역의 함수마다 다를 수 있다.
- 연산 규칙: 덧셈·스칼라곱·점곱·외적 등 벡터 연산이 정의역의 함수에 그대로 적용된다. 예를 들어, $\mathbf{r}_1(t) + \mathbf{r}_2(t) = \langle f_1(t)+g_1(t), \dots \rangle$.
- 미분·적분: 각 성분 함수를 개별적으로 미분·적분함으로써 전체 벡터 함수의 미분·적분을 정의한다. 연속성·미분가능성은 모든 성분 함수가 해당 성질을 가질 때 보장된다.
- 기하학적 해석: 매개변수 $t$가 증가함에 따라 $\mathbf{r}(t)$가 그리는 경로나 면은 곡선·곡면의 기하학적 성질(접선, 법선, 곡률 등)과 직접 연결된다.
- 물리적 의미: 위치·속도·가속도·전기·자기장 등 물리량을 시간이나 공간 변수에 대한 함수 형태로 표현할 때 필수적인 도구이다.
관련 항목
- 파라메트릭 곡선·곡면
- 벡터 미분학
- 벡터 적분학
- 곡률 및 토션
- 물리학에서의 위치·속도·가속도 함수
- 다변량 함수와 매개변수화
이 항목은 2026년 현재까지 확인된 학술·교육 자료를 기반으로 작성되었습니다.