정의
벡터 공간(英: vector space)은 수학, 특히 선형대수학에서, 두 연산인 벡터의 덧셈과 스칼라(필드의 원소)와의 곱셈이 정의된 집합을 말한다. 이때 스칼라곱과 덧셈 연산은 다음의 공리들을 만족한다.
-
덧셈에 대한 아벨 군
- (폐쇄) 두 벡터 $u, v$에 대해 $u+v$도 같은 공간에 속한다.
- (결합법칙) $(u+v)+w = u+(v+w)$.
- (교환법칙) $u+v = v+u$.
- (영벡터 존재) 영벡터 $0$가 존재하여 $u+0 = u$.
- (역원) 각 $u$에 대해 $-u$가 존재하여 $u+(-u)=0$.
-
스칼라곱에 대한 분배법칙·결합법칙·항등원
- (필드에 대한 분배) $\alpha(u+v) = \alpha u + \alpha v$.
- (벡터에 대한 분배) $(\alpha+\beta)u = \alpha u + \beta u$.
- (결합법칙) $(\alpha\beta)u = \alpha(\beta u)$.
- (항등원) $1\cdot u = u$ (여기서 1은 스칼라 필드의 곱셈 항등원).
위 공리들을 만족하는 집합과 연산 구조를 갖는 경우, 해당 집합은 벡터 공간이라 부른다.
주요 성질
- 부분공간: 벡터 공간 $V$의 부분집합 $W$가 자체적으로 동일한 연산을 만족하면 $W$ 역시 벡터 공간이며 이를 부분공간이라 한다.
- 선형 결합: 어떤 벡터 $v$는 다른 벡터들의 스칼라곱의 합으로 표현될 수 있다.
- 기저와 차원: 벡터 공간의 최소 생성집합(선형 독립이며 전체를 생성하는 집합)을 기저라 하며, 기저의 원소 개수를 차원이라 정의한다. 차원은 모든 기저가 동일한 원소 개수를 가진다.
예시
- 유클리드 공간 $\mathbb{R}^n$: 실수 n-튜플들의 집합에 표준적인 좌표별 덧셈과 스칼라곱을 적용한다.
- 복소수 공간 $\mathbb{C}^n$: 복소수 n-튜플들의 집합.
- 다항식 공간 $\mathbb{R}[x]$: 실수 계수를 갖는 모든 다항식들의 집합, 여기서 덧셈은 다항식의 항별 합, 스칼라곱은 계수와 실수 스칼라의 곱으로 정의한다.
- 행렬 공간 $M_{m\times n}(\mathbb{F})$: $m \times n$ 행렬들의 집합으로, 행렬 덧셈과 스칼라곱을 연산한다.
응용 분야
벡터 공간은 물리학(예: 힘, 전기장 등), 컴퓨터 그래픽스(좌표 변환), 신호 처리, 통계학(다변량 분석) 등 다양한 과학·공학 분야에서 기본적인 수학적 구조로 사용된다.
참고 문헌
- Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 5th ed., Cengage Learning, 2016.
- Sheldon Axler, Linear Algebra Done Right, 4th ed., Springer, 2015.
- Wikipedia, “Vector space”, 최신 접근일 기준.
(위 내용은 일반적으로 학계와 교육 현장에서 인정받는 정의와 성질을 토대로 작성되었으며, 별도의 논란이 없는 표준적인 정보이다.)
