확률론 및 통계학에서 베르누이 분포는 오직 두 가지 가능한 결과, 즉 성공(1) 또는 실패(0)만을 가질 수 있는 단 한 번의 시행에 대한 이산 확률 분포의 한 종류입니다. 이 분포는 성공할 확률을 매개변수 p로 갖습니다.
확률 질량 함수
확률 변수 X가 베르누이 분포를 따른다고 할 때, 그 확률 질량 함수(PMF)는 다음과 같습니다:
- P(X=1) = p (성공의 확률)
- P(X=0) = 1-p (실패의 확률)
이를 하나의 식으로 표현하면 다음과 같습니다:
- f(x; p) = p^x (1-p)^(1-x) 여기서 x ∈ {0, 1} 이고, 0 ≤ p ≤ 1 입니다.
매개변수
베르누이 분포는 하나의 매개변수 p를 갖습니다.
- p: 성공의 확률을 나타내며, 0 ≤ p ≤ 1의 범위를 갖습니다. 만약 p=0이면 항상 실패를, p=1이면 항상 성공을 나타냅니다.
특성
베르누이 분포를 따르는 확률 변수 X의 주요 통계적 특성은 다음과 같습니다:
- 기댓값 (평균): E[X] = p
- 분산: Var[X] = p(1-p)
- 최빈값:
- p > 0.5일 때 1
- p < 0.5일 때 0
- p = 0.5일 때 0과 1 모두
다른 분포와의 관계
- 이항 분포: 베르누이 분포는 이항 분포의 특수한 경우로 볼 수 있습니다. 즉, n=1인 이항 분포 B(1, p)와 동일합니다. 여러 번의 독립적인 베르누이 시행을 합하면 이항 분포가 됩니다.
응용
베르누이 분포는 예/아니오, 성공/실패, 발생/미발생과 같이 두 가지 결과만 가능한 상황을 모델링하는 데 널리 사용됩니다. 예를 들어, 다음과 같은 상황을 나타낼 때 사용될 수 있습니다:
- 동전 던지기 (앞면 또는 뒷면)
- 어떤 제품의 불량 여부 (불량 또는 정상)
- 시험의 합격/불합격
- 이메일이 스팸인지 아닌지
- 고객이 특정 캠페인에 반응하는지 여부
역사
이 분포는 스위스의 수학자 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)의 이름을 따서 명명되었으며, 그의 저서 "추측술(Ars Conjectandi)"에 설명되어 있습니다.