베르누이 부등식(Bernoulli's inequality)은 수학, 특히 해석학에서 사용되는 부등식으로, 스위스의 수학자 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli)의 이름에서 유래하였다. 베르누이는 1689년 자신의 논문 《Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis》(바젤)에서 이 부등식을 처음 발표하였으며, 이후 실수해석학에서 여러 부등식을 증명할 때 자주 활용되었다. 다만 일부 학설에 따르면, 이 부등식은 1668년 출판된 슬뤼즈(René de Sluse)의 《Mesolabum》 제4장에서 먼저 등장한 것으로 보기도 한다.
정의
베르누이 부등식은 (1 + x)의 거듭제곱을 일차함수로 근사하는 관계를 나타낸다. 가장 기본적인 형태는 다음과 같다.
- 임의의 정수 r ≥ 1 및 실수 x ≥ −1에 대하여, (1 + x)^r ≥ 1 + rx 가 성립한다. 단, x ≠ 0이고 r ≥ 2일 때는 부등호가 엄격하다(strict).
- r = 0인 경우, (1 + x)^0 = 1 ≥ 1 = 1 + 0·x 이므로 성립한다.
- x ≥ −2인 조건에서 r이 음이 아닌 정수일 때도 성립한다.
- r이 짝수인 정수이면 모든 실수 x에 대하여 성립한다.
실수 지수로의 일반화
지수 r이 실수인 경우로 확장하면, x > −1일 때 다음이 성립한다.
- r ≥ 1 또는 r ≤ 0인 경우: (1 + x)^r ≥ 1 + rx
- 0 ≤ r ≤ 1인 경우: (1 + x)^r ≤ 1 + rx
즉, r의 범위에 따라 부등호의 방향이 반대가 된다. 이는 함수의 볼록성(convexity) 또는 미분을 이용하여 증명할 수 있다.
증명 방법
베르누이 부등식은 여러 방식으로 증명될 수 있다.
- 수학적 귀납법: r = k일 때 성립한다고 가정한 후, (1 + x)^(k+1) = (1 + x)^k·(1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k+1)x + kx^2 ≥ 1 + (k+1)x 의 전개를 통해 r = k+1일 때도 성립함을 보인다.
- 이항 정리: x ≥ 0이고 r이 양의 정수일 때, (1 + x)^r = 1 + rx + (r choose 2)x^2 + ... + x^r 에서 이차항 이상이 모두 음이 아니므로 부등식이 성립한다.
- 평균값 정리: 실수 지수의 경우, 함수 f(t) = t^α에 평균값 정리를 적용하여 증명할 수 있다.
- 산술-기하평균 부등식(AM-GM): 가중치를 적용한 AM-GM을 이용한 증명도 가능하다.
확장 및 관련 부등식
베르누이 부등식은 다음과 같이 확장되거나 관련 부등식과 결합되어 사용된다.
- 밑(base)의 일반화: x_1, x_2, ..., x_r이 모두 −1보다 크고 동일한 부호를 가질 때, (1 + x_1)(1 + x_2)···(1 + x_r) ≥ 1 + x_1 + x_2 + ... + x_r 이 성립한다. 이는 베르누이 부등식의 일반화된 형태로, 수학적 귀납법으로 증명된다.
- 지수함수와의 관계: (1 + x)^r ≤ e^(rx) 가 성립하며, 이는 자연로그의 밑 e를 이용한 상한 추정이다. 위 두 부등식을 결합하면 1 + rx ≤ (1 + x)^r ≤ e^(rx) 의 관계를 얻을 수 있다.
- 강화된 형태(Strengthened version): r이 음이 아닌 정수이고 x ≥ −2일 때, (1 + x)^r ≥ 1 + rx + ⌊r/2⌋·x^2 이 성립한다.
- 대체 형식: t ≥ 1이고 0 ≤ x ≤ 1일 때, (1 − x)^t ≥ 1 − xt 가 성립한다.
활용
베르누이 부등식은 실수해석학에서 여러 중요한 부등식의 증명에 사용된다. 예를 들어, 수열 (1 + 1/n)^n의 단조 증가성 증명, e의 정의와 관련된 극한 증명, 스털링 근사(Stirling's approximation)의 유도 등에 활용된다. 또한 이 부등식은 (1 + x)^r의 값을 일차함수로 간단히 근사할 수 있게 해 주어, 복잡한 계산에서 유용한 도구로 사용된다.
