법선(法線, 영어: normal)은 기하학에서 주어진 개체(곡선, 곡면, 평면 등)에 수직인 직선 또는 벡터를 가리키는 수학 개념이다.
정의
기하학에서 법선은 주어진 개체에 수직인 개체이다. 예를 들어, 주어진 점에서의 평면 곡선에 대한 법선은 그 점에서의 곡선에 대한 접선에 수직인 무한 직선이다. 법선 벡터(normal vector)는 특정 지점에서 주어진 개체에 수직인 벡터를 의미하며, 길이가 1인 단위 법선 벡터는 법선 방향을 나타내는 데 사용된다. 법선 벡터에 -1을 곱하면 반대 방향의 벡터가 되며, 이는 곡면의 내부 또는 외부와 같은 측면을 구별하는 데 사용될 수 있다.
곡선에 대한 법선
공간 곡선에 대한 법선 방향은 다음과 같이 정의된다.
N = R · dT/ds
여기서 R = κ⁻¹은 곡률반지름(곡률의 역수)이고, T는 접선 벡터, s는 호 길이이다.
평면과 다각형에 대한 법선
평면 방정식 ax + by + cz + d = 0으로 주어진 평면의 경우, 벡터 n = (a, b, c)는 법선이다. 볼록 다각형(예: 삼각형)의 경우, 표면 법선은 다각형의 두 (평행하지 않은) 변의 벡터곱으로 계산될 수 있다.
3차원 공간에서 일반 곡면에 대한 법선
3차원 공간 ℝ³에서 곡면 S가 매개변수 r(s, t) = (x(s,t), y(s,t), z(s,t))로 주어질 때, 법선은 편미분의 벡터곱으로 주어진다.
n = (∂r/∂s) × (∂r/∂t)
곡면이 음함수 F(x, y, z) = 0으로 주어질 경우, 법선은 기울기(gradient)로 주어진다.
n = ∇F(x, y, z)
n차원 공간으로의 일반화
법선의 개념은 유클리드 공간에 내장된 임의 차원의 미분 다양체로 일반화된다. 점 P에서의 다양체의 법선 벡터 공간(normal space)은 P에서의 접공간(tangent space)에 직교하는 벡터들의 집합이다.
활용 분야
- 컴퓨터 그래픽스: 3차원 컴퓨터 그래픽스에서 표면 법선은 평면 음영(flat shading)을 위한 광원에 대한 곡면의 방향을 결정하거나, 퐁 셰이딩(Phong shading)으로 곡선형 곡면을 모방하는 데 사용된다. 법선 매핑(normal mapping)을 통해 표면 법선 정보를 조정하기도 한다.
- 물리학: 힘의 법선 성분, 반사와 굴절에서 입사각과 반사각의 기준이 되는 법선 등으로 활용된다.
- 컴퓨터 비전: 측광 스테레오(photometric stereo)를 통해 3D 객체의 형태를 표면 법선으로부터 추정한다.
- 기하광학: 법선 광선은 주어진 지점에서 광학 매질 표면에 수직인 외부로 향하는 광선으로, 빛의 반사에서 입사각과 반사각은 각각 법선을 기준으로 측정된다.
어원
'법선'은 한자어 '法(법 법)'과 '線(줄 선)'의 합성어로, '규범이 되는 선'이라는 의미를 담고 있다. 영어 'normal'은 라틴어 'normalis'(직각자의, 규범적인)에서 유래하였으며, 수학에서는 '수직인'이라는 의미로 사용된다.
