번사이드 정리(Burnside theorem)는 군론(group theory)에서 다루어지는 정리로, 크기의 소인수가 두 개 이하인 유한군은 가해군(solvable group)이라는 내용이다. 구체적으로, 유한군 $G$의 크기(위수)가 $p^m q^n$의 꼴로 표현될 때, 여기서 $p$와 $q$는 소수이고 $m$과 $n$은 음이 아닌 정수라면, $G$는 가해군이라는 것이 이 정리의 핵심이다.
이 정리의 역사를 살펴보면, 페르디난트 게오르크 프로베니우스(Ferdinand Georg Frobenius)가 1895년에 $p^m q$ 꼴의 위수를 가진 군에 대하여 이 정리를 증명하였고, 카미유 조르당(Camille Jordan)은 $p^m q^2$ 꼴에 대하여 증명하였다. 이후 1905년에 윌리엄 번사이드(William Burnside)가 일반적인 $p^m q^n$ 꼴의 위수를 가진 군에 대하여 완전한 증명을 제시하였다. 정리의 이름은 이 마지막 일반적 증명을 완성한 번사이드의 이름에서 유래하였다.
번사이드 정리는 순수군론에서의 정리이지만, 번사이드의 원래 증명은 군 표현론(representation theory)을 사용한다. 이후 표현론을 사용하지 않는 증명도 발표된 바 있으나, 이 정리는 군 표현론이 군론 문제를 해결하는 데 사용된 대표적인 사례로 꼽힌다. 증명의 개략적인 과정은 수학적 귀납법을 사용하여 위수가 $p^m q^n$인 유한 단순군이 순환군임을 보이는 방식으로 진행되며, 켤레류 공식(class equation)과 지표(character)의 직교성을 활용한다.
이 정리의 중요한 귀결로, 비아벨 유한 단순군의 위수는 반드시 세 개 이상의 서로 다른 소수로 나누어져야 한다는 사실이 도출된다. 이는 유한 단순군의 분류 연구에서 중요한 의미를 지닌다.
한편, 번사이드 정리와 이름이 유사하지만 내용이 다른 번사이드 보조정리(Burnside's lemma)가 존재한다. 번사이드 보조정리는 군의 작용에서 궤도의 수를 세는 정리로, 대칭성을 고려한 조합적 대상의 개수를 셀 때 유용하게 사용된다. 두 정리는 서로 다른 내용이므로 구별하여 이해할 필요가 있다.
