방향(方向, orientation)은 위상수학과 미분기하학에서 다양체 위에 일관된 '방향' 또는 '손뼉 치기' 구조를 부여하는 개념이다. 직관적으로 n차원 다양체에서 방향이란, 접공간 기저의 순서를 '양수' 또는 '음수'로 구분하여 국소적 좌표계의 회전 방향을 전역적으로 일관되게 정의하는 것을 의미한다.
정의 n차원 실수 다양체 $M$이 방향 가능(orientable)하다는 것은, $M$ 위의 모든 점 $p$에서 접공간 $T_pM$에 방향을 부여하되, 점이 연속적으로 움직일 때 이 방향이 연속적으로 변하도록 할 수 있음을 뜻한다. 보다 엄밀하게는, $M$ 위의 아틀라스(atlas) 좌표변환 함수의 야코비안 행렬식 부호가 양수가 되도록 좌표 환경을 선택할 수 있을 때 $M$은 방향 가능하다고 하며, 그러한 아틀라스(또는 그와 호환되는 최대 아틀라스)의 선택을 $M$ 위의 방향이라고 한다.
대수적 위상수학적 특성 방향 가능성은 다양체의 제1 스티펠-휘트니 클래스(Stiefel-Whitney class) $w_1(M) \in H^1(M; \mathbb{Z}_2)$가 0인지 여부로 판별된다. $w_1(M) = 0$이면 방향 가능하고, 0이 아니면 방향 불가능하다. 콤팩트하고 연결된 n차원 다양체 $M$이 방향 가능할 필요충분조건은 최상위 호몰로지 군 $H_n(M; \mathbb{Z})$가 $\mathbb{Z}$와 동형임을 뜻한다(방향 불가능하면 0). 이 때 $H_n(M; \mathbb{Z})$의 생성원 중 하나를 선택하는 것이 방향을 선택하는 것과 대응된다.
방향을 가진 다양체 (Directed Manifold / Oriented Manifold) 방향이 주어진 다양체를 '방향을 가진 다양체(oriented manifold)'라고 한다. 방향을 가진 다양체 위에서는 스토크스 정리(Stokes' theorem) 등 적분 이론을 전역적으로 적용할 수 있다. 방향을 가진 다양체 $M$의 반대 방향 다양체 $-M$은 같은 위상 공간에 반대 방향을 부여한 것이다.
예시
- 방향 가능한 다양체: 구면 $S^n$, 토러스 $T^n$, 실수 공간 $\mathbb{R}^n$, 복소수 다양체(복소 구조는 표준적인 방향을 유도함).
- 방향 불가능한 다양체: 뫼비우스 띠(Möbius strip), 클라인의 병(Klein bottle), 실수 사영 공간 $\mathbb{RP}^n$ (n이 짝수일 때).
관련 개념
- 방향 피복 공간(Orientation cover): 방향 불가능한 다양체에 대해 2중 피복 공간으로 방향 가능한 다양체를 구성할 수 있다.
- 부피 형식(Volume form): 방향을 가진 매끄러운 다양체 위에서는 0이 아닌 최상위 미분 형식(volume form)이 전역적으로 존재하며, 이는 방향과 일대일 대응된다.
