선형대수학에서 방데르몽드 행렬(Vandermonde matrix)은 각 행이 초항이 1인 등비수열로 구성된 행렬이다. 프랑스의 수학자 알렉상드르 테오필 방데르몽드(Alexandre-Théophile Vandermonde, 1735~1796)의 이름에서 유래하였으며, 다항식 보간법, 최소 제곱 근사법, 이산 푸리에 변환 등 여러 수학 및 공학 분야에서 활용된다.
방데르몽드 행렬은 일반적으로 다음과 같은 형태를 가진다. 체 $F$와 원소 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m \in F$에 대하여, $m \times n$ 행렬 $V$의 성분은 다음과 같이 정의된다.
$$ V_{i,j} = \alpha_i^{,j-1} $$
즉, 행렬로 표현하면 다음과 같다.
$$ V = \begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1} \ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1} \ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1} \ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1} \end{bmatrix} $$
일부 문헌에서는 이 행렬의 전치행렬(transpose)을 방데르몽드 행렬이라고 부르기도 한다.
방데르몽드 행렬식(Vandermonde determinant)은 정사각 $n \times n$ 방데르몽드 행렬의 행렬식으로, 다음과 같이 간단히 정리된다.
$$ \det(V) = \prod_{1 \le i < j \le n} (\alpha_j - \alpha_i) $$
이 값은 모든 $\alpha_i$가 서로 다를 때에만 0이 아니며, 이는 다항식 보간법에서 보간 다항식의 유일성을 보장하는 조건이 된다. 이 행렬식을 방데르몽드 다항식(Vandermonde polynomial)이라고도 한다.
$\alpha_i$가 모두 단위근(roots of unity)으로 주어지는 특수한 경우, 방데르몽드 행렬은 이산 푸리에 변환(DFT) 행렬과 밀접한 관련을 가지며, 다항식 보간을 빠르게 수행하는 데 사용된다.
방데르몽드 행렬은 조건 수(condition number)가 매우 클 수 있어 수치적으로 불안정한 경우가 많으므로, 실제 수치 계산에서는 라그랑주 다항식이나 뉴턴 다항식 형태로 변환하여 사용하는 것이 일반적이다.
