기하학에서 반사(反射, 영어: reflection) 또는 대칭 이동(對稱移動)은 유클리드 공간 위의 한 점을 어떤 초평면에 대한 '거울상'으로 변환시키는 함수를 뜻한다. 반사는 거울에 비친 모습이나 수면에 비친 풍경처럼, 주어진 축(2차원) 또는 평면(3차원)을 기준으로 도형을 뒤집어 새로운 위치에 나타나게 하는 기하학적 변환이다.
정의
유클리드 공간 ℝⁿ의 (n−1)차원 부분 아핀 공간 Fix(R)을 반사 초평면으로 하는 반사 R: ℝⁿ → ℝⁿ은 다음과 같이 정의된다. 임의의 점 x ∈ ℝⁿ에 대하여 R(x)는 Fix(R)이 선분 (x, R(x))의 수직 이등분 초평면이 되게 만드는 유일한 점이다.
반사 초평면 위의 점 x₀와 단위 법벡터 n이 주어졌을 때, 반사는 다음과 같은 식으로 나타낼 수 있다.
R(x) = x − 2((x − x₀) · n)n
성질
반사가 지니는 주요 수학적 성질은 다음과 같다.
- 모든 반사는 유클리드 공간의 등거리 변환이며, 방향을 보존하지 않는다.
- 모든 반사는 아핀 변환이며, 선형 변환 성분의 행렬식은 −1이다.
- 원점을 지나는 반사 초평면을 갖는 반사는 선형 변환이다.
- 모든 반사는 대합(involution)이다. 즉, 반사를 스스로 두 번 합성하면 항등 함수를 얻는다.
- 반사의 고정점들의 집합은 바로 반사 초평면이다.
합성의 성질
평면 위에서 두 반사를 연이어 합성하는 경우 다음과 같은 결과가 얻어진다.
- 평행하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 평행 이동(병진)을 얻는다.
- 교차하는 두 직선을 축으로 하여 연이어 반사하면 회전을 얻는다.
보다 일반적으로, 평행한 반사 초평면을 갖는 두 반사의 합성은 평행 이동이며, 교차하는 반사 초평면을 갖는 두 반사의 합성은 회전이다. 3차원 이하의 유클리드 공간에서 모든 회전은 두 반사의 합성으로 나타낼 수 있다. 반면 4차원 이상의 공간에서는 일반적으로 성립하지 않는다.
행렬 표현과 예
반사의 선형 변환 성분은 적절한 기저에 대하여 대각선 성분이 1이 n−1개, −1이 1개인 대각 행렬로 표현된다.
2차원 유클리드 공간 ℝ²에서의 대표적인 예로는 다음이 있다.
- x축에 대한 반사: (x, y) ↦ (x, −y) — 행렬 [[1, 0], [0, −1]]로 표현된다.
- y축에 대한 반사: (x, y) ↦ (−x, y) — 행렬 [[−1, 0], [0, 1]]로 표현된다.
활용
반사 개념은 유클리드 기하학의 기본 변환으로서 선형대수학, 결정학, 물리학 등의 여러 분야에서 활용된다. 또한 반사에 의해 생성되는 불연속 군은 반사군(reflection group)이라 하며, 이는 위상기하학과 군론에서 중요한 연구 대상이다. 평면의 모든 등거리 변환은 반사를 합성하여 나타낼 수 있다. 특히 유클리드 평면의 등거리 변환(이동, 회전, 반사, 활강 반사) 중 반사는 기본적인 구성 요소에 해당한다.
