반사 원리(영어: reflection principle)는 수학의 여러 분야에서 사용되는 정리 또는 원리의 이름으로, 주로 복소해석학과 집합론에서 각각 다른 의미로 정의된다.
1. 복소해석학에서의 반사 원리 (슈바르츠 반사 원리)
복소해석학에서 반사 원리(Schwarz reflection principle)는 복소수의 켤레성과 관련된 정리로, 독일의 수학자 헤르만 아만두스 슈바르츠(Hermann Amandus Schwarz)가 제출하였으므로 슈바르츠의 반사 원리라고도 불린다. 이 정리는 복소평면 위에서 정의된 정칙함수(해석함수)의 정의역을 실수축 너머로 확장하는 방법, 즉 해석적 연속(analytic continuation)의 한 형태를 제공한다.
정리의 내용은 다음과 같이 공식화된다. 복소평면 상에서 D가 x축의 선분을 포함하는 x축에 대칭인 영역이고, f가 D에서의 정칙함수라 하자. 이때 D 안의 임의의 점 z에 대해 f(z)의 켤레 = f(z의 켤레)가 성립할 필요충분조건은, D에 속하는 실수축 위의 점 (x,0)에 대해 f(x,0)가 실수인 것이다. 즉, 함수가 실수축 위에서 실수값을 가지면, 그 함수를 실수축에 대해 대칭인 영역으로 확장할 수 있다는 것을 의미한다.
이 원리는 등각 사상(conformal mapping) 이론과 경계값 문제 등 다양한 복소해석학 분야에서 활용된다.
2. 집합론에서의 반사 원리
집합론에서 반사 원리(reflection principle)는 전체 집합의 우주(universe of all sets)가 지니는 어떤 성질을, 그보다 작은 집합 단계에서도 동일하게 찾을 수 있다는 원리이다. 즉, 모든 집합의 전체 모임 V의 성질이 더 작은 집합 V_α(누적 위계의 특정 단계)로 "반사(reflected)"된다는 개념에서 이름이 유래하였다.
이 원리는 크게 두 가지 측면에서 다루어진다.
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ZFC 내에서의 반사 정리(Reflection Theorem): 레비-몽타뉴 반사 원리(Lévy–Montague reflection principle)라고도 하며, ZFC 공리계 내에서 증명 가능한 정리 스키마이다. 임의의 공식 φ에 대해, φ가 전체 집합 우주 V에서 참이라면, 누적 위계의 어떤 단계 V_α가 존재하여 V_α 안에서도 φ가 참이 되도록 할 수 있다는 내용이다. 이는 ZFC가 유한 공리화될 수 없음을 보이는 증명 등에 사용된다.
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새로운 공리로서의 반사 원리: 더 강력한 형태의 반사 원리는 ZFC 공리계를 넘어서는 새로운 집합론 공리로 간주되기도 한다. 이러한 원리들은 거대 기수(large cardinal) 공리와 밀접하게 연관되어 있으며, 거의 모든 알려진 거대 기수 공리에 대응하는 반사 원리가 존재한다. 파울 베르나이스(Paul Bernays)는 반사 원리를 집합론의 공리로 채택한 이론을 제시하기도 하였다.
3. 산술에서의 반사 원리
산술 이론(특히 페아노 산술, PA)에서도 반사 원리가 연구된다. 국지적 반사 원리(local reflection principle)는 "T가 어떤 명제 φ를 증명할 수 있다면 φ는 참이다"라는 형식의 스키마이며, 균일 반사 원리(uniform reflection principle)는 이를 더 강력한 형태로 일반화한 것이다. 이러한 원리들은 산술 이론의 무모순성 증명 및 증명론적 분석에 사용된다.
4. 기타 분야
확률론에서도 반사 원리라는 용어가 사용된다. 특히 브라운 운동이나 확률 과정 이론에서, 경계를 넘는 확률을 계산할 때 대칭성을 이용하는 기법을 반사 원리라고 부르기도 한다. 이는 물리학에서의 반사 개념을 수학적으로 차용한 것이다.
이상과 같이 '반사 원리'는 수학의 여러 하위 분야에서 각기 다른 구체적인 정리나 원리를 지칭하는 용어로 사용되며, 각 분야에서 엄밀하게 정의되고 연구되는 개념이다.
