바일 방정식(Weyl equation)은 양자장론에서 질량이 없는 스핀 1/2 입자(페르미온)를 기술하는 상대론적 파동 방정식이다. 독일의 수학자이자 수리물리학자인 헤르만 바일(Hermann Weyl)의 이름에서 유래하였다. 1929년, 폴 디랙이 디랙 방정식을 발표한 직후 바일이 질량이 없는 입자의 경우에 대해 제시한 방정식이다.
정의
바일 방정식은 다음과 같은 형태로 표현된다.
σμ∂μψ = 0
여기서 σμ는 μ = 0일 때 2×2 단위행렬, μ = 1, 2, 3일 때 파울리 행렬(Pauli matrices)로 구성된 4차원 벡터이며, ψ는 바일 스피너(Weyl spinor)의 파동함수이다. SI 단위계로 명시하면 다음과 같다.
I₂(1/c)(∂ψ/∂t) + σₓ(∂ψ/∂x) + σᵧ(∂ψ/∂y) + σ_z(∂ψ/∂z) = 0
바일 스피너와 손지기
바일 방정식은 오른손 성분(ψ_R)과 왼손 성분(ψ_L)으로 나누어 각각 다음과 같이 쓸 수 있다.
σμ∂μψ_R = 0 σ̄μ∂μψ_L = 0
질량이 없는 입자이므로 운동량 p의 크기는 파수 벡터 k와 직접적으로 연관된다. 드 브로이 관계에 따라 |p| = ℏ|k| = ℏω/c가 성립하며, 따라서 |k| = ω/c이다. 바일 입자의 손지기 성분은 입자의 헬리시티(helicity) λ = ±1/2에 대응한다.
물리적 의의
바일 방정식은 디랙 방정식의 질량이 0인 극한으로 볼 수 있다. 바일 페르미온은 기본 페르미온의 세 가지 유형 중 하나로, 나머지 두 유형은 디랙 페르미온과 마요라나 페르미온이다. 표준 모형의 기본 입자 중 바일 방정식으로 완전히 기술되는 입자는 존재하지 않지만, 중성미자가 질량을 갖기 전의 상태를 설명하는 데 이론적으로 중요한 역할을 한다. 또한 응집물질물리학에서 바일 준입자(Weyl semimetal)의 연구와도 관련이 있다.
관련 방정식
스핀에 따른 상대론적 파동 방정식의 분류에서, 바일 방정식은 스핀 1/2 영역에 속하며 디랙 방정식 및 마요라나 방정식과 함께 다루어진다. 스핀 0은 클라인-고든 방정식, 스핀 1은 맥스웰 방정식과 프로카 방정식, 스핀 2는 아인슈타인 방정식으로 각각 기술된다.
