밀도 다발(密度 다발, 영어: density bundle)은 미분기하학에서 정의되는 수학적 개념으로, 적분을 정의할 수 있는 단면(截面)들을 갖는 선다발(線束, line bundle)이다.
정의
n차원 매끄러운 다양체 M과 양의 실수 s ∈ ℝ⁺가 주어졌을 때, 실수 일반선형군 GL(n; ℝ)는 다음과 같은 자명한 1차원 표현을 갖는다:
ρ : GL(n; ℝ) → ℝ⁺, ρ : A ↦ |det A|⁻ˢ
이 표현에 대한 연관 다발(associated bundle)을 정의할 수 있으며, 이를 s-밀도 다발(s-density bundle)이라고 하고 |Λ|ˢ(TM)으로 표기한다. s = 1인 경우를 단순히 밀도 다발이라고 부르며, s-밀도 다발의 단면을 s-밀도라고 한다.
텐서 다발과 밀도 다발의 텐서곱을 텐서 밀도 다발(tensor density bundle)이라고 하며, 그 단면을 텐서 밀도(tensor density)라고 한다.
미분 형식과의 관계
유향 다양체(向き付け可能多様体) M의 경우, 밀도 다발은 최고차 미분 형식들의 다발 ΩⁿM과 표준적으로 동형이다. 이 동형은 다양체의 방향에 의존한다. 즉, 이러한 경우 밀도는 최고차 미분 형식과 같은 개념이 된다. 그러나 유향 다양체가 아닌 경우에는 이러한 동형이 존재하지 않는다는 점이 특징적이다.
리만 다양체의 밀도 다발
리만 다양체 (M, g)는 표준적인 밀도인 부피 밀도(volume density)를 가진다. 국소적으로 이는 부피 형식의 절댓값과 같다.
연산
s₁-밀도와 s₂-밀도는 곱할 수 있으며, 그 결과는 s₁+s₂-밀도가 된다. 어느 곳에서나 0이 아닌 s-밀도는 역수를 취할 수 있고, 이는 −s-밀도가 된다. 또한 두 s-밀도는 더할 수 있으며 그 결과 역시 s-밀도가 된다.
다양체 위의 1-밀도는 적절한 수렴 조건이 충족되는 경우 적분을 취할 수 있다. 국소 좌표계에서 밀도의 적분은 사용한 국소 좌표계에 의존하지 않는다는 것이 증명되어 있으며, 이를 바탕으로 다양체 전체에서의 적분이 가법적으로 정의된다.
응용
등각기하학에서 등각 계량(等角計量)은 2차 텐서 밀도를 이룬다.
참고 문헌
- Lang, Serge (1999). 《Fundamentals of Differential Geometry》, Graduate Texts in Mathematics 191, Springer-Verlag.
- "Tensor density", 《Encyclopedia of Mathematics》, Springer-Verlag.
- nLab "Density" 항목.
