민코프스키 거리(Minkowski distance)는 실수 좌표 공간 위에서 정의되는 거리 함수들의 족(family)으로, 수학자 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski)의 이름에서 유래하였다. 이는 p-노름(p-norm)에 대응하는 거리 함수이며, 잘 알려진 두 거리 척도인 유클리드 거리(Euclidean distance, p=2)와 맨해튼 거리(Manhattan distance, p=1)를 일반화한 개념이다.
정의
n차원 실수 공간 ℝⁿ 위의 두 점 X = (x₁, x₂, …, xₙ)와 Y = (y₁, y₂, …, yₙ)에 대하여, 차수 p(p ≥ 1)의 민코프스키 거리는 다음과 같이 정의된다.
$$ D_p(X, Y) = \left( \sum_{i=1}^{n} |x_i - y_i|^p \right)^{1/p} $$
이 거리 함수는 민코프스키 부등식(Minkowski inequality)에 의해 삼각부등식을 만족하므로 수학적 의미의 거리(metric)가 된다.
특수한 경우
- p = 1: 맨해튼 거리(Manhattan distance) 또는 택시 거리(Taxicab distance)와 동일하다.
- p = 2: 유클리드 거리(Euclidean distance)와 동일하다.
- p → ∞: 체비쇼프 거리(Chebyshev distance)로 수렴하며, 각 좌표 차이의 최댓값이 거리가 된다.
- p → 0⁺: 해밍 거리(Hamming distance)와 유사한 형태가 되며, 서로 다른 좌표의 개수를 센다.
성질
p ≥ 1일 때 민코프스키 거리는 단위구(unit ball)가 볼록(convex)하고 평형(balanced)이므로 노름에서 유도된 거리 함수이다. 반면 0 < p < 1인 경우 위 정의에서 1/p 지수를 제외한 형태 $ d_p(X,Y) = \sum |x_i - y_i|^p $를 사용하면 거리 함수가 될 수 있으나, 이때 단위구는 볼록하지 않으며 노름에서 유도되지 않는 F-노름(F-norm)에 해당한다.
활용
민코프스키 거리는 기계 학습(machine learning) 분야에서 널리 사용된다. k-최근접 이웃(k-NN), 계층적 군집화(hierarchical clustering), K-평균 군집화(K-means) 등 다양한 알고리즘에서 데이터 포인트 간 유사도 또는 거리를 측정하는 데 활용된다. p값을 조정함으로써 문제의 특성에 맞게 거리 척도를 유연하게 선택할 수 있다는 장점이 있다.
