미적분학(微積分學, 영어: calculus)은 수학의 한 분야로, 극한, 함수, 미분, 적분, 무한급수를 다루는 학문이다. 미분은 정의역에서 미소한 차이에 대한 함수값의 차이의 비를 구하는 연산으로, 그 값은 곡선의 기울기로 해석된다. 적분은 미소한 양의 집적을 다루는 분야로, 기하학적으로는 곡선 또는 곡면과 좌표축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 것에 해당한다. 이 두 분야는 완전히 별개의 개념이지만 밀접한 연관성을 지니며, 변수가 하나인 경우 미분과 적분은 서로 역연산 관계에 있는데, 이를 미적분학의 기본정리라고 한다.
개념적 위상
기하학이 모양에 중심을 둔 학문이고 대수학이 연산에 대한 수학이라면, 미적분학은 변화에 중점을 둔 수학이라고 볼 수 있다. 미분은 특정 함수의 그래프의 어떤 점에서 접선 또는 접평면을 구하는 데 필요한 연산이며, 더 일반적으로는 어렵게 정의된 함수를 선형근사하여 다루기 쉬운 형태로 바꾸어 파악하려는 목적을 지닌다. 적분의 확실한 정의를 최초로 내린 수학자는 베른하르트 리만이며, 그가 정식화한 적분을 리만 적분이라고 한다.
역사
고대 시기
적분을 이끌어내기 위한 여러 아이디어는 고대에서부터 시작되었으나, 이 시대의 방법들은 수학적으로 엄밀하지도 체계적이지 못했다. 모스크바 수학 파피루스에서 부피 계산법이 나타나 있으나 방법으로서의 설명이 부족하다. 고대 그리스에서는 크니도스의 에우독소스가 극한의 개념과 유사한 철저 검토법을 사용했고, 아르키메데스는 이를 발전시킨 발견적 교수법을 만들었다. 중국에서는 3세기 유휘가 원의 넓이를 구하기 위해 유사한 방법을 고안하였다.
중세 시기
14세기 인도의 수학자들은 일부 삼각함수에 적용할 수 있는, 미분과 비슷하지만 엄격하지 않은 방법을 제시하였다. 케랄라 천문학 및 수학 학교의 마드하바 등은 무한급수 근사에 해당하는 개념을 명시하였다.
근대 시기
프랑스 수학자 피에르 드 페르마는 무한소 오차항을 허용하는 adequality 개념을 소개하고 미분을 이용해 극대·극소를 찾는 방법을 만들었다. 이후 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠가 당시 알려져 있던 미적분학을 체계화하고 발전시켰다. 뉴턴은 미적분을 물리학 문제 해결에 적용한 반면, 라이프니츠는 오늘날 사용되는 미적분 표기법의 대부분을 만들었다. 두 사람 사이에는 미적분학의 우선권을 둘러싼 논쟁이 있었으나, 현재는 두 사람이 독립적으로 각자의 결론을 도출한 것으로 밝혀져 있다.
기초의 확립
초기 미적분학에서 사용된 무한소 개념은 엄밀하지 않다는 비판을 받았으며, 특히 조지 버클리가 이를 강하게 비난하였다. 이후 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스에 의해 극한의 엄밀한 정의가 수립되었고, 미적분학은 무한소가 아닌 극한 개념에 기초하게 되었다. 리만은 이 개념을 이용해 적분의 정확한 정의를 만들었다. 이후 앙리 르베그는 측도론을 개발했고, 로랑 슈바르츠는 분포이론을 만들었다. 1960년대에는 에이브러햄 로빈슨이 비표준해석학을 통해 무한소 개념을 다시 도입한 대안적 접근을 제시하기도 하였다.
주요 구성 요소
극한은 미적분학의 기초 개념이며, 좌극한과 우극한의 일치가 극한값의 존재와 필요충분조건이 된다. 극한의 엄밀한 정의는 엡실론-델타 논법으로 제공된다. 연속성은 함숫값과 극한값이 일치하는 조건으로 정의된다.
도함수는 함수의 순간 변화율을 의미하며, 곱의 미분법, 연쇄법칙, 음함수 미분법 등의 법칙이 존재한다. 적분은 부정적분(역도함수)과 정적분으로 구분되며, 치환 법칙과 부분적분법 등의 기법이 사용된다.
급수는 수열의 각 항의 합을 의미하며, 무한급수의 수렴·발산 판정을 위해 비교판정법, 적분판정법, 비율판정법 등이 사용된다. 테일러 급수는 함수를 다항식의 무한급수로 표현하는 방법이다.
교육
대한민국에서는 2015 개정 교육과정 기준으로 고등학교 "수학 II" 과목과 "미적분" 과목에서, 2022 개정 교육과정 기준으로 "미적분 I"과 "미적분 II" 과목에서 미적분학을 학습한다. 세계 여러 나라에서도 미적분학을 고등교육 및 고등학교 교육 과정의 일부로 가르치고 있다.
