미분 표기법(微分 表記法, 영어: notation for differentiation)은 수학에서 함수의 미분(도함수)을 기호로 나타내는 여러 방식을 총칭하는 용어이다. 미분학에는 단일한 표준 표기법이 존재하지 않으며, 역사적으로 여러 수학자들이 각기 다른 표기 체계를 제안하여 오늘날까지 맥락에 따라 병용되고 있다.
주요 표기법
라이프니츠 표기법
고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 도입한 표기법으로, 미분을 분수 형태의 비율로 나타낸다. 함수 y = f(x)의 x에 대한 1계 도함수는 dy/dx로 표기하며, 고계 도함수는 d²y/dx², d³y/dx³, …, dⁿy/dxⁿ과 같이 나타낸다. 특정 점 x = a에서의 미분계수는 (dy/dx)|ₓ₌ₐ 또는 (dy/dx)(a)로 표현한다. 이 표기법은 미분할 변수를 분모에 명시할 수 있어 편미분과 연쇄 법칙(chain rule)을 다룰 때 특히 유용하다. ISO/IEC 80000 과학 스타일 가이드에서는 미분 기호 d를 이탤릭체 대신 로만체로 표기할 것을 권장한다.
라그랑주 표기법 (프라임 표기법)
조제프루이 라그랑주가 대중화한 표기법으로, 실제로는 레온하르트 오일러가 먼저 고안하였다. 함수 f(x)의 도함수를 f′(x)와 같이 프라임 기호(′)를 붙여 나타낸다. 2계 도함수는 f″(x), 3계 도함수는 f‴(x)로 표기하며, 더 높은 계수의 도함수는 f⁽⁴⁾(x), f⁽⁵⁾(x)와 같이 괄호 안에 아라비아 숫자를 쓰거나 fⁱᵛ(x), fᵛ(x)와 같이 로마 숫자를 사용한다. 일반적인 n계 도함수는 f⁽ⁿ⁾(x)로 나타낸다. 이 표기법은 1749년에 처음 인쇄물로 등장하였으며, 간결하고 직관적이어서 현대 수학 교육과 단일 변수 함수 해석에서 가장 널리 사용된다.
뉴턴 표기법 (점 표기법)
아이작 뉴턴이 고안한 표기법으로, 종속 변수 위에 점(dot)을 찍어 시간에 대한 미분을 나타낸다. 변수 y가 시간 t의 함수일 때, ẏ는 1계 도함수(dy/dt), ÿ는 2계 도함수(d²y/dt²)를 의미한다. 이 표기법은 시간에 따른 변화율을 직관적으로 표현할 수 있어 물리학과 공학 분야에서 속도, 가속도 등을 나타낼 때 여전히 널리 사용된다.
오일러 표기법 (D 연산자 표기법)
루이 프랑수아 앙투안 아르보가스트가 도입하고 오일러의 이름을 따서 명명된 표기법으로, 미분 연산자 D를 사용한다. 함수 f(x)에 대해 Df = df/dx로 정의되며, 고계 도함수는 D²f, D³f, …, Dⁿf와 같이 D의 거듭제곱 형태로 나타낸다. 이 표기법은 미분을 함수에 작용하는 연산자로 취급하므로, 미분방정식이나 선형대수학적 맥락에서 특히 유용하다.
비교 및 용도
각 표기법은 사용 맥락에 따라 장단점이 있다. 라이프니츠 표기법은 변수 간 관계를 명확히 하고 연쇄 법칙 적용에 유리하여 다변수 미적분학에서 강력하다. 라그랑주 표기법은 간결하여 일반적인 함수 해석과 교육 현장에서 선호된다. 뉴턴 표기법은 시간 미분에 특화되어 고전역학에서 표준적으로 사용된다. 오일러 표기법은 연산자적 접근이 필요한 미분방정식 이론에서 빈번히 등장한다. 이 밖에도 다변수 미적분학의 편미분을 위한 ∂ 기호, 벡터 미적분학의 나블라(∇) 연산자, 텐서 미적분학의 첨자 표기법 등 전문 분야별로 다양한 표기 체계가 공존한다.
