정의
미분 등급 대수(英: differential graded algebra, 약칭 DG대수)는 대수와 위상수학·동형론에서 사용되는 구조로, 그레이딩(등급)이 지정된 대수 $A = \bigoplus_{n\in\mathbb{Z}} A^{n}$와 미분(differential)이라 불리는 차수 1의 선형 사상 $d : A^{n} \to A^{n+1}$가 결합된 형태이다. 여기서 $d$는 $d^{2}=0$을 만족하고, 곱 연산 $\mu : A^{p}\times A^{q}\to A^{p+q}$와의 관계로 리브라이트 규칙(Leibniz rule)
$$
d(ab)=d(a),b+(-1)^{|a|}a,d(b)
$$
을 만족한다. $|a|$는 원소 $a$의 등급(차수)이다.
개요
미분 등급 대수는 호몰로지 이론, 대수적 위상수학, 대수기하학 등에서 기본적인 도구로 활용된다. 대표적인 예로는 체인 복합(chain complex) 위에 대수 구조를 부여한 체인 대수(chain algebra)와 코체인 복합에 대수 구조를 부여한 코체인 대수(cochain algebra) 등이 있다. DG대수는 호몰로지 대수(homology algebra) $H^{*}(A)=\ker d / \operatorname{im} d$를 통해 복잡한 미분 구조를 간단한 대수적 형태로 추출할 수 있게 해준다.
어원/유래
미분은 미분 연산자 $d$가 만족하는 $d^{2}=0$와 리브라이트 규칙에 기인한다.
등급은 원소가 정수 차수 $n$에 따라 분류되는 그레이딩을 의미한다.
대수는 곱 연산과 덧셈 연산이 정의된 구조를 가리킨다.
이 용어는 20세기 중반 호몰로지 대수학이 발전하면서 등장했으며, 특히 Samuel Eilenberg과 Jean‑Claude Cartan이 도입한 Eilenberg–Mac Lane 복합과 Cartan–Eilenberg 책(1956)에서 체계적으로 다루어졌다.
특징
- 차수 보존 곱: 두 원소의 곱은 차수의 합으로 이동한다 $(A^{p}\cdot A^{q}\subset A^{p+q})$.
- 미분의 제곱 영: $d^{2}=0$이므로 $(A,d)$는 체인 복합을 형성한다.
- 리브라이트 규칙: 곱과 미분 사이의 상호작용을 규정한다; 이는 미분 형식과 외적 연산 사이의 관계와 유사하다.
- 호몰로지 대수: 미분 등급 대수의 호몰로지는 자체적으로 그레이딩된 대수이며, 이는 원래 DG대수의 위상·대수적 정보를 보존한다.
- 모델 구조: 모델 범주론에서 DG대수는 모델 구조(model structure)를 가질 수 있어, 사상 간 동형 사상 및 퀘시 사상(Quillen equivalence)의 정의에 활용된다.
- 대표적인 예:
- 다양체의 데 라흐 코체인 대수 $\Omega^{*}(M)$ (외미분 형식의 대수)
- 폴리노미얼 대수에 차수를 부여하고 미분을 정의한 다항식 DG대수
- 가상 사상체(derived) 대수학에서 등장하는 시프(DG) 스키마와 시프 모듈 등
관련 항목
- 체인 복합 (Chain complex)
- 코체인 복합 (Cochain complex)
- 호몰로지 대수 (Homology algebra)
- 대수적 위상수학 (Algebraic topology)
- 모델 범주론 (Model category theory)
- 시프 대수 (Derived algebra)
- 외미분 형식 (Exterior differential forms)
- Eilenberg–Mac Lane 복합
- Cartan–Eilenberg 책 Homological Algebra
※ 본 내용은 수학 분야의 공인된 교과서·전문 논문 등에 근거한 객관적인 설명이며, 현재까지 확인된 정보에 기반한다.